Представление синусоидального тока комплексными величинами

Любое комплексное число обозначаемое Å или А можно изобразить на комплексной плоскости точкой с радиусом — вектором Å (рис. 1.31) и представить в алгебраической, тригонометрической и показательной формах:

где А = √ a² + b² — модуль комплексного числа; а — вещественная часть комплексного числа; b — мнимая часть комплексного числа;

α = arctg b / a, — аргумент комплексного числа; А — еще один способ изображения комплексного числа.

Если аргумент α является линейной функцией времени t, т. е.

α = ωt + ψ, то:

Å(t) =Acos (ωt + ψ) +jA sin (ωt + ψ) = Аe ^{j(ωt + ψ)}

и графическое представление комплексной функции A (f) аналогично представлению синусоидального тока вращающимся вектором (рис. 1.29), при этом мнимая часть (1.53) представляет собой синусоидальный ток, а вещественная часть — косинусоидальный ток, т. е. проекция вектора /(/) на мнимую и вещественную оси соответственно в любой момент времени t равны:

Такую запись называют комплексной или символической формой записи гармонического тока, а саму комплексную функцию:

İ(t) =I_m e ^{j(ωt + ψ)}

у которой модуль и аргументы равны соответственно амплитуде и аргументу синусоидального тока, называют комплексным мгновенным синусоидальным током. Выделим в (1.54) часть, зависящую от времени, и постоянную часть:

İ_m(t) = I_m e ^{j ωt} e ^{j ψi} = I e ^{j ωt}

где İ_m = I_me ^{j ψi}, есть комплексная амплитуда, модуль которой равен амплитуде I_т sin-тока, а аргумент ψi — ее начальной фазе; e ^{j ωt} — оператор вращения, модуль которого равен единице, а аргумент ωt линейно зависит от времени; точка комплексной плоскости, изображающая оператор вращения, непрерывно перемещается по окружности единичного радиуса с центром в начале координат (рис. 1.31, б) с постоянной угловой скоростью ω в положительном направлении, начиная с точки «+1» на вещественной оси. Комплексную величину:

İ = I e ^{j ψi},

где I = I_m √2, называют комплексным действующим синусоидальным током или просто — комплексным током, который имеет такой же аргумент ψi, как и комплексная амплитуда I_т, а модуль — меньший, чем у комплексной амплитуды, в √2 раз.

Если известны I_т или İ, то оказываются известными амплитуда I_т или действующее значение I и начальная фаза φ_{i ;} тока, тогда, предполагая известной ω, можно записать мгновенный ток i(t). Аналогично, зная i(t), можно записать комплексную амплитуду I_т и комплексный ток I. Поэтому говорят, что каждая из величин İ, İ _m и İ _m (t) изображает (представляет) синусоидальный ток, т. е. является изображением тока i(t).

---

Дата добавления: 2015-07-15