Оценка производственной функции с использованием метода корреляционно-регрессионного анализа

Коэффициент корреляции равен r=0,90.

Значение коэффициента корреляции говорит о высокой степени линейной корреляции величины у и х.

Стандартная ошибка определения коэффициента парной корреляции равна .

Достоверность расчёта коэффициента корреляции высока:

.

Доверительный интервал коэффициента корреляции находится в пределах:

.

Корреляционное отношение равно:

.

Стандартная ошибка его определения равна .

Корреляционное отношение не даёт дополнительной информации, т.к. связь между у и х тесна и близка к линейной.

Коэффициент детерминации В=0,81 показывает, что примерно изменений величины (у) вызвано изменением величины (х).

Стандартное отклонение (у) от поверхности регрессии составляет S_y=1,88, т.е. находится в пределах от 5,5 до 8,10% от значений величины :

и .

Экономические характеристики производственной функции

Дополнительный продукт фактора:

, т.е. .

Средняя производительность:

;

при х₁=30;

;

при х=52

.

Коэффициент эластичности:

;

при х=50 коэффициент эластичности равен

,

т.е. при изменении (х) на 1% величина (у) изменится на 0,76%.

Демонстрационная задача № 3

Используя данные о фактической величине потерь на холостые повороты и заезды тракторных агрегатов при выполнении полевых работ в зависимости от длины гона, определить расчетные значения величины потерь, величину корреляционного отношения, его ошибку, критерий достоверности и доверительные границы корреляционного отношения.

Таблица 7

Исходные данные

№ п/п (j)	Фактическая величина потерь, % (y^j)	Длина гона, км (x^j)
	16.8	0.4
	10.8	0.7
	6.2	1.0
	6.0	1.3
	4.0	1.6
	3.8	1.9
	3.1	2.2
	16.0	0.5
	13.8	0.6
	12.1	0.7
	10.0	0.8
	9.0	0.9
	5.8	1.0
	8.1	1.1

Решение

Для определения зависимости между значением фактической величины потерь на холостые повороты и заезды тракторных агрегатов при выполнении полевых работ и длиной гона построим график в двухмерной системе координат (x,y), где у – величины потерь на холостые повороты (%) и заезды, х – длина гона (км) (рис. 3). Рисунок свидетельствует о наличии гиперболической зависимости. Уравнение гиперболы имеет вид y=a₀+a₁/x.

Для расчета параметров «a₀» и «a₁» решается система уравнений:

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 2,2 2,4 2,6 2,8

Рис. 3. Графическое представление зависимости между значением фактической величины потерь на холостые повороты и заезды тракторных агрегатов и длиной гона. Точками показаны результаты наблюдений

;

;

.

Промежуточные вычисления, необходимые для решения системы нормальных уравнений, приведены в табл. 8.

Таблица 8

Расчет коэффициентов системы нормальных уравнений

(случай гиперболической регрессии)

№ п/п (j)	Фактическая величина потерь, % (y^j)	Длина гона, км (x^j)	1/х^j	1/(х^j)^2	y^j/x^j	Расчетная величина потерь, %, ŷ ^j
	16.8	0.4	2.5	6.25	42.0	19.32
	10.8	0.7	1.429	2.04	15.429	11.35
	6.2	1.0	1.0	1.0	6.2	8.17
	6.0	1.3	0.769	0.59	4.615	6.45
	4.0	1.6	0.625	0.39	2.5	5.38
	3.8	1.9	0.526	0.28	2.0	4.64
	3.1	2.2	0.455	0.21	1.409	4.11
	16.0	0.5	2.0	4.0	32.0	15.60
	13.8	0.6	1.666	2.78	23.0	13.12
	12.1	0.7	1.429	2.04	18.714	11.35
	10.0	0.8	1.25	1.56	16.25	10.02
	9.0	0.9	1.111	1.23	11.444	8.99
	5.8	1.0	1.0	1.0	9.2	8.17
	8.1	1.1	0.909	0.83	7.364	7.49
S	125,5		16.669	24.20	192.125	134,20

Используя результаты расчёта табл. 8, запишем систему нормальных уравнений в виде:

; ;

; ;

; .

Сглаженная зависимость потерь на холостые повороты и заезды тракторных агрегатов от длины гона имеет вид:

y=0.726+7.439/x.

Поскольку зависимость между длиной гона и величиной потерь на холостые повороты и заезды тракторных агрегатов носит нелинейный характер, тесноту нелинейных связей можно характеризовать выборочным корреляционным отношением:

.

О степени линейной корреляции можно судить по значению r_yx.

.

Для расчета величин (y-ŷ)², () ² составим таблицу 9.

Таблица 9

Таблица для расчета корреляционного отношения и

коэффициента детерминации

№ п/п (j)	Фактическая величина потерь, % (y^j)		Расчетная величина потерь, %, y^j
	16.8	51,84	19.32	-2,52	6,35	94,48
	10.8	1,44	11.35	-0,55	0,30	3,06
	6.2	11,56	8.17	-1,97	3,88	2,05
	6.0	12,96	6.45	-0,45	0,20	9,92
	4.0	31,36	5.38	-1,38	1,90	17,81
	3.8	33,64	4.64	-0,84	0,71	24,60
	3.1	42,25	4.11	-1,01	1,02	30,14
	16.0	40,96	15.60	0,40	0,16	36,00
	13.8	17,64	13.12	0,68	0,46	12,39
	12.1	12,25	11.35	1,75	3,06	3,06
	10.0	11,56	10.02	2,98	8,88	0,18
	9.0	0,49	8.99	1,31	1,72	0,37
	5.8	0,16	8.17	1,03	1,06	2,05
	8.1	2,25	7.49	0,61	0,37	4,45
S	134.2	270,36	134,16	Z	30,07	240,56
∑/ п

Подставляя найденные значения величин в формулу, получим:

.

Стандартная (среднеквадратическая) ошибка определения коэффициента корреляции и корреляционного отношения может быть оценена по формулам:

при ;

.

где N – объем выборки (случай, когда N<30);

K – число факторов.

Достоверность расчёта корреляционного отношения высока.

Большое значение корреляционного отношения и малая погрешность его определения говорят об адекватности принятой регрессионной зависимости реальной статистической картине, о верности выбранной гиперболической зависимости между величинами у и х.

Степень влияния фактора на результат определяется значением коэффициента детерминации.

Коэффициент детерминации вычисляется по формуле:

; где Д_рег и Д_ост – дисперсии отклонений сглаженных значений ŷ ^j от среднего наблюдаемого и отклонений наблюдаемых величин от сглаженного .

Подставляя полученные значения величин (таблица 9) в формулы получим:

.

Коэффициент детерминации равный В=0,89 характеризует, что 89% изменений величины (у) вызвано изменением величины (х), а (1-В) 11% влиянием неучтённых факторов.

Задания для лабораторных и самостоятельных работ

Задача № 1

Используя фактические данные (табл. 10) определить сглаженную зависимость площади лесных полос от крутизны склона в районе развитой эрозии почв. Рассчитать показатели, характеризующие тесноту связи между площадью лесных полос и крутизной склона, адекватность выбранной регрессионной зависимости, степень влияния изменения значений фактора на изменение величины результирующего показателя. Решить задачу в ручную.

Таблица 10

Исходные данные к задаче

№ п/п (j)	Площадь лесополос,%, (y^j)	Крутизна склона в градусах
	2.2	0.3-.0.5
	2.5	0.5-.1.0
	2.9	1.-.2.2
	3.1	2.1-.2.5
	3.3	2.5-.3.0
	4.0	3.0-.3.5
	4.7	3.5-.4.0
	5.0	4.0-4.5
	5.2	4.5-5.0
	5.5	5.0-5.7
	5.8	5.7-6.0
	6.0	6.0-6.5
	6.2	6.5-7.0
	6.7	7.0-7.8

Задача № 2

Данные о динамике урожайности ячменя в хозяйстве за ряд лет с 1982 по 1994гг. представлены в табл. 11 (ц/га).

Таблица 11

Исходные данные к задаче (Вариант 1)

Годы (j)	Порядковый номер года, (х^j)	Фактическая урожайность, ц/га, (у)

Таблица 12

Исходные данные к задаче (Вариант 2)

Годы (j)	Порядковый номер года, (х^j)	Фактическая урожайность, ц/га, (у)

По заданной статистической информации установить функциональную зависимость урожайности ячменя от времени.

Рассчитать планируемую урожайность ячменя в 2010 году.

Рассчитать показатели, характеризующие тесноту связи между урожайностью ячменя и годами, адекватность выбранной регрессионной зависимости, степень влияния изменения значений фактора на изменение величины результирующего показателя. Решить задачу вручную.

Задача № 3

По заданной статистической информации установить функциональную зависимость валового внутреннего продукта (дохода) от объема личных потребительских расходов (потребление) за ряд лет с 1983 по 1992 г.г. (млрд. долларов в ценах 1987 г.). Приведем данные в виде таблицы 13 по валовому внутреннему продукту (ВВП - доходу) и объему личных потребительских расходов (потребление) в США, в млрд. долларов в ценах 1987 г.

Таблица 13

Дата добавления: 2015-07-17