Процесс размножения и гибели

Процесс чистого размножения из параграфа 3 дает удовлетворительное описание радиоактивных превращений, однако он не может служить реалистической моделью для изменений объема совокупности, члены которой могут умирать (или исчезать). Это наводит на мысль об обобщении нашей модели, допускающем переходы из не только в ближайшее сверху состояние , но и в ближайшее снизу состояние . (Процессы более общего вида будут определены в параграфе 9)

Таким образом, мы начнем со следующих постулатов.

Постулаты. Изменения системы осуществляются путем переходов из состояний в ближайшие с ними соседние состояния (из в или в при , а из – только в ). Если в момент времени система находится в состоянии , то вероятность того, что между и произойдет переход равна , а вероятность перехода (если ) равна . Вероятность более чем одного изменения на протяжении есть .

Легко приспособить метод параграфа 2 для вывода дифференциальных уравнений для вероятностей того, что система находится в состоянии . Чтобы вычислить , заметим, что состояние в момент возможно лишь при выполнении одного из следующих условий: 1) в момент система находится в и между и не происходитникаких изменений; 2) в момент система находится в и происходит переход в ; 3) в момент система находится в и происходит переход в ; 4) между и происходит два или несколько переходов. По предположению вероятность последнего события есть . Первые три возможности взаимно исключаются, и их вероятности складываются; поэтому

(5.1)

Перенося член в левую часть и деля обе части уравнения на , получаем в левой части разностное отношение для , и в пределе при приходим к

. (5.2)

Это уравнение справедливо при всех . Для аналогичным образом получаем

. (5.3)

Если начальным состоянием является , то начальными условиями будут

. (5.4)

Таким образом, мы видим, что процесс размножения и гибели зависит от бесконечной системы дифференциальных уравнений (5.2) – (5.3) с начальными условиями (5.4). Вопрос о существовании и единственности решения в этом случае отнюдь не тривиален. В процессе чистого размножения система дифференциальных уравнений (3.2) также была бесконечной, но она имела вид рекуррентных соотношений: определялась первым уравнением, а могла быть вычислена по . Новая система (5.2) имеет иной вид, и все должны находиться одновременно. Здесь (как и в некоторых других случаях в этой главе) мы формулируем свойства решений без доказательства.

Для произвольных заданных коэффициентов всегда существует положительное решение системы (5.2) – (5.4), такое, что . Если коэффициенты ограничены (или возрастают достаточно медленно), то это решение единственно и удовлетворяет условию регулярности . Однако можно выбрать коэффициенты таким образом, что и будет существовать бесконечно много решений. В последнем случае мы сталкиваемся с явлением, аналогично изучавшемся в предыдущем параграфе для процесса чистого размножения. Эта ситуация представляет значительный теоретический интерес, однако можно без опасения считать, что во всех практически интересных случаях условия единственности выполнены; в этом случае автоматически (см. параграф 9).

При переход невозможен. В терминологии цепей Маркова является поглощающим состоянием, выход из которого невозможен; коль скоро система окажется в , она останется там навсегда. Из (5.3) следует, что в этом случае , так что монотонно возрастает. Предел ее есть вероятность окончательного поглощения.

Можно показать (либо используя явный вид решений, либо из общих эргодических теорем для марковских процессов), что в любом случае пределы

(5.5)

Существуют и не зависят от начальных условий (5.4); они удовлетворяют системе линейных уравнений, которая получается из (5.2) – (5.3) при замене производных в левой части нулями.

Дата добавления: 2015-07-15