Процесс размножения и гибели.

Простейшее обобщение пуассоновского процесса получается при предположении, что вероятности скачков могут зависеть от текущего состояния системы. Это приводит нас к следующим требованиям.

Постулаты. (i) Непосредственный переход из состояния возможен только в состояние .(ii) Если в момент времени система находится в состоянии , то (условная)вероятность одного скачка в последующем коротком интервале времени между и равна тогда как (условная) вероятность более чем одного скачка в этом интервале есть .

Отличительная черта этого предположения заключается в том, что время, которое система проводит в любом конкретном состоянии, не играет 6никако роли; возможны внезапные изменения состояния, однако, пока система находится в одном состоянии, она не стареет.

Пусть снова будет вероятностью того, что в момент времени система находится в состоянии . Эти функции удовлетворяют системе дифференциальных уравнений, которую можно вывести при помощи рассуждений предыдущего параграфа с тем лишь изменением, что (2.5) заменяется на

. (3.1)

Таким образом, мы получим основную систему дифференциальных уравнений

(3.2)

В пуассоновском процессе было естественно предполагать, что в момент времени 0 система выходит из начального состояния . Теперь мы можем допустить более общий случай, когда система выходит из произвольного начального состояния . Тогда получаем, что

(3.3)

Эти начальные условия единственным образом определяют решение системы (3.2). (В частности, ) Явные формулы для выводились независимо многими авторами, однако для нас они не представляют интереса. Легко проверить, что для произвольных заданных система обладает всеми требуемыми свойствами, за исключением того, что при некоторых условиях .

Примеры. а) Радиоактивный распад. В результате испускания частиц или -лучей радиоактивный атом, скажем урана, может превратиться в атом другого вида. Каждый вид представляет собой возможное состояние, и, когда процесс протекает, мы получаем последовательность переходов . Согласно принятым физическим теориям, вероятность перехода остается неизменной, пока атом находится в состоянии , и эта гипотеза находит выражение в нашем исходном предположении. Стало быть, этот процесс описывается дифференциальными уравнениями (3.2) (факт, хорошо известный физикам). Если – конечное состояние, из которого невозможны никакие другие переходы, то и система (3.2) обрывается при . (При мы автоматически получаем )

Дата добавления: 2015-07-15