Приклади розв'язання задач до контрольної роботи № 6

Задача 1. Знайти область збіжності функціонального ряду .

Розв'язання. Очевидно, маємо ряд з додатними членами, причому .

Застосуємо ознаку Даламбера, враховуючи, що .

.

Ряд збігається, якщо . Ця нерівність, очевидно, виконується для будь – яких .

Таким чином, область збіжності даного ряду є інтервал .

Задача 2. Знайти область збіжності функціонального ряду .

Розв'язання. Очевидно, , .

Розглянемо ряд , складений з абсолютних величин членів даного ряду. Застосуємо до цього ряду радикальну ознаку Коші

.

Ряд збігається, якщо . Звідси , .

Ряд абсолютно збігається при , .

Перевіримо виконання необхідної умови збіжності даного ряду, якщо , тобто при , або .

В першому випадку маємо знакододатний ряд, в другому – знакопочередний. В обох випадках , бо

.

Тобто ряд при і розбігається.

Дослідимо збіжність ряду при .

При маємо ряд . Це узагальнений гармонічний ряд з показником степені більшим за 1, тому він збігається.

При маємо ряд . Цей ряд абсолютно збігається, бо збігається ряд .

Таким чином ряд збігається, причому абсолютно, при , .

Задача 3. Знайти область збіжності функціонального ряду .

Розв'язання. Очевидно, .

1. При і тому маємо ряд з додатними членами. Застосуємо радикальну ознаку Коші

.

Ряд збігається, якщо , тобто ряд збігається при .

При маємо ряд , що розбігається, оскільки .

2. При і тому маємо знакопочередний ряд.

а) Нехай , тоді і . Це означає, що ряд розбігається, бо не виконується необхідна ознака збіжності.

б) Нехай , тоді і . Очевидно також . За ознакою Лейбніца ряд збігається. При маємо ряд , що розбігається, оскільки .

Таким чином ряд збігається при .

Задача 4. Знайти область збіжності функціонального ряду .

Розв'язання. Маємо степеневий ряд. За теоремою Абеля інтервал збіжності цього ряду співпадає з інтервалом збіжності ряду .

Застосуємо ознаку Даламбера

.

Даний ряд збігається, якщо

;

;

,

тобто на інтервалі: .

При маємо ряд . Порівняємо його зі збіжним рядом .

.

Так як значенням границі є , то ряди, в сенсі збіжності, ведуть себе однаково. Ряд збігається, тому і ряд також збігається.

При маємо ряд , що збігається абсолютно, бо збігається ряд .

Таким чином, областю збіжності ряду є відрізок .

Задача 5. Довести, виходячи з означення, рівномірну збіжність функціонального ряду на відрізку . При яких абсолютна величина залишкового члена ряду не перевершує ?

Розв'язання. Маємо знакопочередний (починаючи з другого члена) ряд. Його залишок не перевершує за абсолютною величиною першого із своїх членів, тобто

, і, очевидно .

Звідси витікає, що ряд рівномірно збігається на відрізку .

З’ясуємо, при яких абсолютна величина залишку ряду не перевершує .

.

Оскільки , то при .

Задача 6. Для даного функціонального ряду побудувати мажоруючий ряд і довести рівномірну збіжність на відрізку .

Розв'язання. Очевидно, виконується нерівність

.

Ряд збігається як узагальнений гармонічний ряд з показником степені більше 1. за ознакою Вейрштраса ряд рівномірно збігається на відрізку .

Задача 7. Знайти суму ряду .

Розв'язання. Знайдемо інтервал збіжності ряду, використовуючи теорему Абеля, та радикальну ознаку Коші.

.

Ряд збігається при , тобто - інтервал збіжності ряду. В цьому інтервалі ряд збігається абсолютно і рівномірно.

Позначимо через суму ряду, тобто

.

Так як ряд збігається рівномірно на інтервалі , то його можна почленно диференціювати на ньому (за теоремою про почленне диференціювання і інтегрування степеневого ряду в середині інтервалу збіжності).

.

Скориставшись тим, що

,

маємо

.

Тоді

. (*)

Оскільки , то із (*) знаходимо

.

Таким чином

, .

При маємо ряд ~ .

Ряд збігається, значить і ряд також збігається.

При маємо ряд , який збігається абсолютно, оскільки збігається ряд .

Так як ряд збігається на відрізку , то його сума є неперервною функцією на цьому відрізку.

Тому

;

.

Таким чином

,

або

.

Задача 8. Знайти суму ряду .

Розв'язання. Знайдемо область збіжності цього степеневого ряду. Скористаємося теорему Абеля і радикальною ознакою Коші.

.

Ряд збігається при , тобто збігається абсолютно і рівномірно на інтервалі .

При маємо ряд , що, очевидно, розбігається, оскільки для нього не виконується необхідна умова збіжності:

.

При маємо ряд , що як і попередній ряд розбігається з тієї ж причини.

Таким чином ряд збігається абсолютно і рівномірно на інтервалі .

.

Нехай , , , .

1) ;

2) .

Позначимо . Проінтегруємо почленно цей ряд в інтервалі .

,

.

Тоді .

3) .

Позначимо . Проінтегруємо почленно цей ряд в інтервалі

.

Тоді

,

.

.

Задача 9. Розвинути функцію в ряд Тейлора по степеням .

Розв'язання. Запишемо функцію у вигляді суми найпростіших дробів

.

Звідси .

При , при , маємо систему

.

Тобто .

Оскільки і , то

.

Таким чином

.

Це є ряд із додатними членами. Знайдемо його область збіжності. Скористаємося ознакою Даламбера

.

Ряд збігається при , тобто на інтервалі . Дослідимо збіжність ряду на кінцях інтервалу.

При маємо ряд .

Очевидно, , тому цей ряд розбігається, оскільки не виконується необхідна умова збіжності.

При маємо знакопочередний ряд , для якого, очевидно, також не виконується необхідна умова збіжності, тому він розбігається.

Таким чином

, .

Задача 10. Обчислити інтеграл з точністю до .

Розв'язання. Запишемо відоме розвинення

, .

Причому цей ряд збігається рівномірно на .

Тоді

, .

Про інтегруємо цю рівність на відрізку .

{оскільки ряд під інтегралом збігається рівномірно, то можливе почленне інтегрування}

В знакопочередному ряді при заміні його суми частиною сумою похибка за абсолютною величиною не перевищує першого з відкинутих членів ряду. Оскільки , то з точністю до

.

Дата добавления: 2015-07-17