Использования потенциала предприятия

Задача распределения инвестиций для оптимального

Рассмотрим задачу распределения инвестиций х₀ между производственными подразделениями.

Обозначим: х₀ – общий объем инвестиций, подлежащих распределению между заемщиками;

F_i – объем выделяемых средств i-му объекту финансирования,

;

Z – суммарный доход инвестора:

- уровень дохода i-го объекта.

Структура процесса распределения позволяет рассматривать его как n-ша-говый процесс. Начальное состояние характеризуется величиной х₀ средств, подлежащих распределению между n-объектами.

На 1 шаге выделяют F₁ средств 1-му объекту финансирования. Остается средств .

На i шаге выделяют F_i средств i-му объекту. После этого остается средств

. (5.8)

Выражение (4.8) является уравнением состояния системы.

Ставится задача найти набор управлений F₁, F₂, F_i, … F_n, максимизирующий целевую функцию

. (5.9)

Если к началу i-го шага остаток средств то суммарный доход на оставшихся шагах равен

(5.10)

то есть максимальный доход на этих шагах зависит от того, сколько средств осталось на предыдущих шагах, т.е. от величины Обозначим его как так - является максимальным значением дохода за n шагов. Для любого i- шага F_i выбирается из условия

Принцип оптимальности в случае распределения инвестиций между n-объектами означает, что выделив F_i средств и получив доход от i-го объекта , мы должны распределить остаток средств наивыгоднейшим образом, чтобы получить от оставшихся i+1, i+2, …,n объектов финансирования максимальный доход.

Очевидно, что величину F_i следует определить, максимизируя сумму

(5.11)

Процедура вычислений метода состоит в том, что нас интересует, прежде всего, но

(5.12) т.е. необходимо знать , которое неизвестно. Однако имеется последний шаг n, за которым нет последующих. Для него уравнение оптимальности будет

(5.13)

Будем считать, что функция монотонно возрастает, экономически это означает, что большая сумма вложений F_i приносит и больший доход. Тогда решением n-этапа является условно оптимальное управление , при котором достигается максимум то есть n – объекту выделяют все оставшиеся средства .

Перейдем к шагу n-1, в начале которого имеется средств. Уравнение оптимальности примет вид

. (5.14)

Здесь выбор управления не очевиден. Выразим из уравнения состояния :

Тогда

(5.15)

Оба слагаемых в фигурных скобках – известные величины, зависящие от переменной . В результате получим условно оптимальное управление и соответствующий условный максимум суммарного уровня дохода. Затем перейдем к следующему (n-2) шагу и определим оптимальное управление и условный максимум дохода на этом шаге и т.д. до 1 шага.

В результате получим две последовательности:

- условно-максимальные доходы объектов финансирования и

- условно-оптимальное распределение средств.

Этим завершается этап условной оптимизации. Для получения искомого решения проводим безусловную оптимизацию. На этом этапе, зная начальное количество средств х₀, определяем Далее обращаемся к последовательности управлений которую проходим от начала к концу. Первому объекту выделяем тогда для других останется По этой величине находим оптимальное и т.д., доходим до последнего объекта финансирования.

Порядок решения задачи и особенности алгоритма "обратной прогонки" рассмотрим на простом примере:

Пример 5.1. Инвестору необходимо распределить денежные средства 60 тыс.руб. между двумя экономическими объектами, чтобы получить максимальный доход.

Дано: х₀=60 тыс.; n=2.

Средства выделяются в долях, кратных 20 тыс. Доходность экономических объектов дана в табл.5.1.

Таблица 5.1

Решение. Используем процедуру алгоритма "обратной прогонки" для оптимального распределения средств. Для удобства расчетов и наглядности все вычисления будем проводить в табл.5.2 (основной) и табл.5.3 (вспомогательной).

Таблица 5.2

х	Ш а г 2	Ш а г 1
(1)	(2)	(3)	(4)	(5)

1 этап. Условная оптимизация.

Найдем с шага 2 (конечного) уравнение оптимальности

т.к. функция дохода монотонно возрастает, то ее максимальное значение достигает при наибольшем значении

При этом

Эти данные заносим в столбцы (2,3) табл.5.2.

Шаг 1. Соотношение оптимальности 1 шага:

(5.16)

Расчеты проведем, используя табл.5.3.

Таблица 5.3

			Ш а г 1
(1)	(2)	(3)	(4) +	(5)	(6)
20^*				3^*
	0^*				5^*
20^*				8^*

Из уравнения состояния для , соответствующее уравнение будет т.е. может быть: или тогда по уравнению состояния

Заполним (2) и (3) столбец табл.5.3.

Условно оптимальное управление 1 шага:

. (5.17)

В формуле значения берем из табл.5.1. Учитываем, что при , а при и т.д. Заполняем (4) столбец (табл.4.3). Для столбца 5 значения берем из табл.5.2. Данные столбца 6 получаем по формуле (5.17), суммируя значения столбцов (4) и (5). Пометим * в столбце (6) максимальные значения , полученные значения перенесем в табл.5.2 (столбец 4).

Дата добавления: 2015-07-16