Записать уравнение движения, решением которого являются затухающие (свободные) колебания; чему равна частота затухающих колебаний

Что такое гармонические колебания

ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ

– колебания, при которых колеблющаяся физическая величина изменяется во времени по синусоидальному закону:

x = A sin (w t + j 0),

где

x – значение колеблющейся величины в момент времени t,

A – амплитуда колебаний,

w – циклическая (или круговая) частота,

(w t + j0) – полная фаза колебаний,

j0 – начальная фаза.

Графиком гармонических колебаний является синусоида. Выбор начальной фазы позволяет при описании гармонических колебаний перейти от функции синуса к функции косинуса.

Какие колебания называются собственными; чему равна частота собственных колебания

– колебания, возникающие в системе под действием внутренних сил после того, как система была выведена из состояния равновесия и предоставлена самой себе.

Свободные колебания могут происходить как в механических, так и в электрических колебательных системах. И механические, и электрические свободные колебания с течением времени затухают.

Характерной особенностью свободных колебаний является то, что их частота не зависит от начальных условий и полностью определяется свойствами лишь самой колебательной системы. По этой причине частоту свободных колебаний называют собственной частотой системы.

Записать уравнение движения, решением которого являются затухающие (свободные) колебания; чему равна частота затухающих колебаний

Дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний линейной системы определяется как
(1)
где s – колеблющаяся величина, которая описывает тот или иной физический процесс, δ = const — коэффициент затухания, ω0 - циклическая частота свободных незатухающих колебаний той же колебательной системы, т. е. при δ=0 (при отсутствии потерь энергии) называется собственной частотой колебательной системы.
Решение уравнения (1) запишем в виде
(2)
где u=u(t). После взятия первой и второй производных (2) и подстановки их в выражение (1) найдем
(3)
Решение уравнения (3) зависит от знака коэффициента перед искомой величиной. Рассмотрим случай положителньного коэффициента:
(4)
(если (ω02 - σ2)>0, то такое обозначение мы вправе сделать). Тогда получим выражение , у которого решение будет функция . Значит, решение уравнения (1) в случае малых затуханий (ω02 >> σ2)
(5) где (6)
— амплитуда затухающих колебаний, а А0 — начальная амплитуда. Выражение (5) представлено графики рис. 1 сплошной линией, а (6) — штриховыми линиями. Промежуток времени τ = 1/σ, в течение которого амплитуда затухающих колебаний становится мешьше в е раз, называется временем релаксации.

Затухание не дает колебаниям быть периодичными и, строго говоря, к ним нельзя применять понятие периода или частоты. Но если затухание мало, то можно условно использовать понятие периода как промежутка времени между двумя последующими максимумами (или минимумами) колеблющейся физической величины (рис. 1). В этом случае период затухающих колебаний с учетом выражения (4) будет равен

Если A(t) и А(t + Т) — амплитуды двух последовательных колебаний, соответствующих моментам времени, которые отличаются на период, то отношение

называется декрементом затухания, а его логарифм

(7)
— логарифмическим декрементом затухания; Ne — число колебаний, которые совершаются за время уменьшения амплитуды в е раз. Логарифмический декремент затухания является постоянной величиной для данной колебательной системы.

Для характеристики колебательной системы также применяют понятие добротности Q, которая при малых значениях логарифмического декремента будет равна

(8)
(так как затухание мало (ω02 >> σ2), то T принято равным Т0).
Из формулы (8) вытекает, что добротность пропорциональна числу колебаний Ne, которые система совершает за время релаксации.
Выводы и уравнения, полученные для свободных затухающих колебаний линейных систем, можно использовать для колебаний различной физической природы — механических (в качестве примера возьмем пружинный маятник) и электромагнитных (в качестве примера возьмем электрический колебательный контур).

Частота затухающих колебаний - .

4. Что такое время затухания (релаксации), коэффициент затухания, логарифмический декремент затухания, добротность колебательной системы?

Время релаксации τ –время, в течение которого амплитуда А уменьшается в e раз. , тогда .

Т.к. - число колебаний за время, то:

коэффициент затухания β есть физическая величина,обратная времени,в течение которого амплитуда уменьшается в е раз.

логарифмический декремент затухания χ есть физическая величина, обратная числу колебаний, по истечении которых амплитуда А уменьшается вeраз.

Добротность колебательной системы - отношение энергии, запасённой в колебательной системе, к энергии, теряемой системой за один период колебания. Добротность характеризует качество колебательной системы (См. Колебательные системы), т.к. чем больше Д. к. с., тем меньше потери энергии в системе за одно колебание. Д. к. с. Q связана с логарифмическим Декрементом затухания δ; при малых декрементах затухания Q ≈ π/δ. В колебательном контуре с индуктивностью L, ёмкостью C и омическим сопротивлением R Д. к. с.

5. Каким образом гармонические колебания представляют методом векторной диаграммы? Сложение колебаний методом векторной диаграммы.

Гармонические колебания изображаются графически методом вращающегося век­тора амплитуды, или методом векторных диаграмм. Для этого из произвольной точ­ки О, выбранной на оси х, под углом j, равным начальной фазе колебания, откладыва­ется вектор А, модуль которого равен амплитуде А рассматриваемого колебания (рис. 199). Если этот вектор привести во вращение с угловой скоростью w ₀, равной циклической частоте колебаний, то проекция конца вектора будет перемещаться по оси х и принимать значения от –А до +А, а колеблющаяся величина будет изменяться со временем по закону s=A cos (w ₀ t + j). Таким образом, гармоническое колебание мож­но представить проекцией на некоторую произвольно выбранную ось вектора амп­литуды А, отложенного из произвольной точки оси под углом j, равным начальной фазе, и вращающегося с угловой скоростью w ₀ вокруг этой точки.

Метод векторной диаграммы:

В системе координат (x, y) рассмотрим радиус-вектор , который вращается с угловой скоростью w. Проекция этого вектора на ось x изменяется во времени по гармоническому закону

и описывает гармонические колебания с амплитудой A, циклической частотой w и начальной фазой j.

Этот метод очень удобен для описания сложения колебаний одного направления и одинаковой частоты.Пусть имеются два гармонических колебания

,

Надо найти результат сложения этих колебаний:

,

т.е. найти амплитуду результирующего колебания A и его начальную фазу j. На векторной диаграмме гармонические колебания x1 и x2 представим вращающимися векторами и . Тогда результирующее колебание x будет представляться вращающимся вектором

Из треугольника OAC по теореме косинусов находим амплитуду результирующего колебания

.

Из чисто геометрических соображений можно найти и начальную фазу результирующего колебания j:

Как мы видим, результат сложения двух колебаний существенно зависит от разности фаз этих колебаний j1 - j2. Рассмотрим два важных случая:

j1 - j2 = 0 - колебания синфазные.

В этом случае амплитуды колебаний складываются, т.е. колебания усиливают друг друга:

.

б) j1 - j2 = p - колебания противофазные.

В этом случае амплитуды колебаний вычитаются, т.е. гасят друг друга:

.

Дата добавления: 2015-07-16