Классификация математических моделей

Существуют различные классификации математических моделей. Различают модели, описываемые алгебраическими, интегральными и дифференциальными уравнениями, уравнениями в частных производных. Можно выделять классы линейных и нелинейных, стационарных и динамических, детерминированных и недетерминированных (стохастических, нечетких) моделей. Детерминированными моделями называют модели вся информация о которых является полностью определенной. Стохастические модели описываются переменными, представляемыми случайными величинами. Кроме того, математические модели различают по области их применения.

Примером классификации математических моделей может служить следующая классификация по цели моделирования.

I. Модели прогноза (расчетные модели без управления). Такие модели можно разделить на стационарные и динамические. Основное назначение моделей прогноза: по начальному состоянию системы и информации о её поведении в определенном временном интервале, построить прогноз поведения системы во времени и пространстве. Такие модели могут быть и стохастическими, и детерминированными.

Как правило, модели прогнозирования описываются алгебраическими, дифференциальными (обыкновенными и в частных производных), интегральными уравнениями и неравенствами, например, модели распределения тепла, электрического поля, изменения спроса на рынке, развития эпидемий, изменение погоды и т.п.

II. Оптимизационные модели. Такие модели так же могут быть стационарными и динамическими, детерминированными и недетерминированными. Стационарные модели используются при проектировании различных технологических систем, динамические – для оптимального управления различными процессами – технологическими, экологическими, социально-экономическими и др.

В задачах оптимизации рассматриваются детерминированные и стохастические системы и процессы.

Методы отыскания экстремума функции многих переменных с различными ограничениями обозначаются общим термином «математическое программирование».

Основными компонентами задачи математического программирования являются:

- множество различных вариантов решения задачи (множество альтернатив);

- переменные, описывающие каждое из возможных решений;

- целевая функция, определяющая критерий оптимальности;

- множество ограничений, которым должны удовлетворять переменные решений.

Таким образом, задача математического программирования состоит в нахождении допустимой альтернативы, обеспечивающей оптимальное значение целевой функции, то есть лучшее решение по заданному критерию.

В математическом программировании выделяются следующие основные разделы:

1) Линейное программирование: целевая функция линейна, а множество, на котором отыскивается экстремум целевой функции, задается системой линейных равенств и/или неравенств;

2) Нелинейное программирование: целевая функция и/или ограничения не являются линейными;

3) Выпуклое программирование: выпуклая целевая функция и множество, на котором решается экстремальная задача;

4) Квадратичное программирование: целевая функция квадратичная, а ограничения – линейные равенства и неравенства;

5) Многоэкстремальные задачи: задачи, в которых целевая функция имеет несколько локальных экстремумов;

6) Целочисленное программирование: задачи, в которых на переменные накладываются ограничения целочисленности.

Как правило, к задачам математического программирования неприменимы методы классического анализа для отыскания экстремума функции одной или нескольких переменных.

Задачи теории оптимального управления представляют собой одни из важнейших видов задач оптимизации. Математическая теория оптимального управления имеет важные практические применения в оптимальном управлении процессами. Различаются три вида математических моделей теории оптимального управления:

1) дискретные модели оптимального управления: такие модели называют моделями динамического программирования, для решения которых используется метод Р.Беллмана;

2) модели, описываемые задачами Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений (моделями оптимального управления системами с сосредоточенными параметрами);

3) краевые задачи, как для обыкновенных дифференциальных уравнений или для уравнений в частных производных (модели оптимального управления системами с распределенными параметрами).

III. Ситуационные модели используются для анализа конфликтных ситуаций.

Предполагается, что динамический процесс определяется несколькими субъектами, в распоряжении которых имеется несколько управляющих параметров. Ситуационные задачи решаются с помощью систем имитационного моделирования, в которых рассматриваемые системы описываются дискретно-событийными, системно-динамическими и мультиагентными моделями, которые характерно отражают системное взаимодействие целая группа субъектов (агентов), обладающих собственными целями.

IV. Вышеописанные типы моделей не охватывают большого числа различных систем, которые не могут быть полностью формализованы. Для изучения таких процессов необходимо включение в математическую модель функционирующего «биологического» звена – человека. В таких ситуациях используются экспертные методы. В системах использующих оценки экспертов (специалистов в исследуемой предметной области) разработаны методы обоснования экспертных оценок, методы определения их согласованности, в случае привлечения группы экспертов.

Дата добавления: 2015-07-15