Уравнение Шредингера и физический смысл пси-функций.

Полностью самосогласованной теорией квантовой механики стала теория, основанная на уравнении Шредингера:

,

где - пси-функция. Сама пси-функция физического смысла не имеет. Имеет смысл квадрат модуля. Появляются комплексные числа.

Пси по модулю в квадрате дает нам плотность вероятности нахождения частицы в данной точке пространства и в данный момент времени.

Для истолкования квантово-механических процессов привлекается аппарат теории вероятностей.

- вероятность нахождения частицы в малом объеме.

Если мы проведем сто опытов по обнаружению частицы в заданном параллелепипеде, то только в одном из них мы обнаружим частицу.

При этом предполагается, что волновая функция нормирована на 1.

Если U=0, мы имеем свободную частицу. В этом случае уравнение Шреденгера имеет своим решением плоскую волну. В большом числе случаев, в частности когда Г не зависит от времени, мы можем попытаться найти решение уравнения Шреденгера в следующем виде:

- стационарное (независимое от времени)уравнение Шреденгера.

Математически стационарное уравнение Шреденгера относится к задачам на собственное значение. Для любой квантовой матрицы мы можем поставить задачу, найти ее собственное значение и собственние вектора.

В начале нужно найти собственные числа А_х= _х.

(А- I)x=0

Нужно потребовать, чтобы детерминант матрицы был равен нулю. det(A- I)=0

Если матрица 2х2, то мы получаем квадратное уравнение, если 3х3,то кубическое относительно , а для nxn получаем уравнение n-ого порядка.

Уравнение решается для тем или иным способом, затем берется одно из этих решений и подставляется в уравнение А_х= _х, после чего находится вектор (собственный вектор). Собственный вектор определяется с точностью до множителя. Одной из парадигм квантовой механики является

бесконечно глубокая потенциальная яма.

При таком выборе функции граничное условие на левом конце автомотически выполняется. Потребуем, чтобы и на правом конце функции вела себя непрерывным образом. n=1,2,3…

Потребуем, чтобы функция была решением стационарного уравнения Шреденгера в яме

Если мы попробуем решить стационарное уравнение Шреденгера для атома водорода, то значение полных энергий электрона (E_n) совпадают с соответствующими значениями, получаемыми из теории Бора, а волновые функции будут иметь следующий вид:

,

где n – главное квантовое число; е – ассимутальное квантовое число; m – магнитное квантовое число; - углы в сферической системе координат; Р^m_e – присоединенные полиномы Лежандра.

В квантовой механике при исследовании структуры атома возникает еще одно квантовое число (спин mS=±1 – собственный угловой момент электрона или другой элементарной частицы). При этом уравнение Шредингера, чтобы учесть спин частицы нужно заменить на уравнение Паули Дирак (английский физик), обобщим уравнение Паули на релятивистский. Далее Фейнман, Швингер и Томанага приняли во внимание взаимодействие электронов с вакуумом и построили квантовую электродинамику, используя “некрасивую” теорию перенормировок.

16. Термодинамика. Параметры состояния и уравнение состояния.

В физике существуют большое число систем, которые состоят из большого числа элементов. Например, один моль газа содержит 6,02·10²³ молекул. Чтобы описать движение одной молекулы, нужно написать 6 уравнений:

= V_z

= V_y

= V_x

dxdx dz

=

dt dt dt

=

=

dV _x F _x dV _y F _y dV _z F _z

dx m dy m dz m

x, y, z – начальные координаты молекул. Для того чтобы описать движение молекул одного моля газа, нужно 6·6,02·10²³ уравнений и столько же начальных условий. В случае квантовой механики для 6,02·10²³ частиц мы должны решить такое же число уравнений Шредингера и задать столько же значений в качестве начальных условий.

Положение от части спасает то обстоятельство, что в системах с большим числом частиц начинает проявляться качественно новые закономерности необратимости процессов (в частности необратимость времени). Простой способ описания систем с большим числом частиц – это термодинамический способ описания. Оказывается, что в ряде систем, находящихся в состоянии близких к тепловому равновесию, можно выделить небольшое число параметров (давление, плотность, объем, температура). Эти параметры оказываются связанными друг с другом некоторым уравнением, которое называют термодинамическим уравнением состояния. Это уравнение выводится из опыта. Пример – это уравнение состояния идеального газа (уравнение Клайперона – Менделеева):

m·R·T

P·V = M

Р – давление, V – объем, R – газовая постоянная, T – температура, M – молярная масса. m – масса.

Уравнение состояния неидеального газа (уравнение Ван-дер-Ваальса):

a_m·R·T

(P+ V²)·(V-b) = M

Оно принимает во внимание притяжение молекул на больших расстояниях, а также то, что молекулы имеют твердую сердцевину, в результате чего доступный для движения объем для молекул уменьшается.

Уравнение Ван-дер-Ваальса способно в некоторой степени описывать фазовые переходы (жидкость-газ). Термодинамика хорошо описывает равновесные системы(в которых все параметры состояния одинаковы по всей системе). В случае неравновесных систем, часто приходится привлекать аппарат статистической физики. В этом случае рассматривают движение всей совокупности молекул, однако, не отдельной реализации, а целого ансамбля реализаций. Т.е. рассматривают набор динамичных систем, отвечающих разным начальным условиям, и нетипичное поведение отдельных реализаций выбрасывается из рассмотрения, считая такое поведение маловероятным. Например: если вы разбили чашку с молоком, вы не будете дожидаться, пока чашка соберется из осколков, и туда же попадет молоко, хотя такое событие достоверно, но маловероятно.

В результате получают уравнение для функции распределения f(x, y, z, V_x, V_y, V_z), где f – вероятность найти молекулу (плотность вероятности найти молекулу) в шестимерном фазовом пространстве. Уравнение Больцмана:

₆

=

+V_i

∂f ∂f ⌠

∂t ∂x_i ⌡dЩу(Щ)(f'f'-ff)

dЩ - телесный угол.

Интеграл берется по поверхности единичной сферы.

у - сечение рассеяния (дает вероятность рассеяться на угол Ω при столкновении с другой молекулой).

Уравнение Больцмана получается из 2-ого закона Ньютона с использованием дополнительных предположений. Т.е. предполагается, что молекулы в результате столкновений достаточно быстро забывают свою истории. В то время как законы динамики обратимы во времени, уравнение Больцмана необратимо во времени.

У- в уравнении Больцмана однозначно определяется потенциалом взаимодействия друг с другом. Уравнение Больцмана описывает стремление состояния газа прийти в состояние теплового равновесия, а функция f при этом приобретает форму Максвелла. На больших временах уравнение Больцмана сводится к уравнениям гидродинамики, в частности к уравнениям Новье-Стокса.

- функция распределения молекул по скоростям;

- плотность молекул в фазовом пространстве;

- сечение рассеяния (в процессе столкновения однозначно определяется силами взаимодействия между молекулами);

- содержит координаты рассеянных частиц;

- содержит координаты частиц до акта столкновения.

Уравнение Больцмана необратимо во времени.

Дата добавления: 2015-07-15