Порядок и хаос

В настоящее время различают следующие 3 типа движения:

1. регулярное движение;

2. детерминированный хаос;

3. стохастический хаос.

Регулярное движение характеризуется обычно периодичностью процесса. Тип движения предсказуем на сколь угодно большие промежутки времени.

Пример - движение большинства планет солнечной системы.

Детерминированный хаос характеризуется ограниченной предсказуемостью во времени и отсутствием случайных параметров в системе уравнений.

Пример: нелинейный маятник.

x ^// + ax ^/ + w ²sin x = F sin W t

При некоторых значениях параметров: l, w, F, W процесс является регулярным, периодическим.

x Где F < F_кр

t

x Где F > F_кр

t

Как для детерминированного хаоса, так для стохастического хаоса имеет место разбегание соседних траекторий

Траектории разбегаются по экспоненте, т. е. расстояние между траекториями:

d = d_o e ^{l t} , где l₁ > 0

величина l₁ называется старший показатель Ляпунова.

В современной науке часто используют такое математическое понятие аттрактор (притягивать) - предельное множество на которое наматывается траектория системы при t.

В качестве аттрактора может выступать материальная точка, замкнутая кривая.

С появлением компьютеров обнаружены более экзотические аттракторы, размерность которых не является целой. Такие множества называют фрактальные.

В случае детерминированного хаоса аттрактором является фрактальное множество - странный хаотический аттрактор.

Часто размерность аттрактора мала.

Пример фрактального множества - береговая линия.

Примером фрактальных множеств являются - облака.

Приведем еще одно уравнение (отображение): x (t) = l x_i (1 – x_i)l - параметр

К этому уравнению в частности сводится задача по стабилизируемом банковском проценте.

x₀ Ì (0,1) и по уравнению определяется x₁ l< 3

x₁

x - выходит на постоянное

значение

I

1 2 3 4

если l > 3 l = 3.05

x₁

T=2 решение выходит на

периодический режим

0 1 2 3 4 5

Если l еще больше увеличим, решение выйдет на аттактор с периодом Т = 4, затем будет наблюдаться период Т = 8.

Смена режимов при увеличекнии l называется бифуркация, а соответствующие l точки бифуркации.

Существуют и другие сценарии перехода к хаосу.

Стохастический хаос.

Характерным примером стохастического хаоса является движение броуновской частицы.

Частица пыльцы, помещенная в воду. Частица время от времени сталкивается с молекулами, обменивается с ними импульсом и энергией, и резко меняет направление своего движения.

В случае стохастического хаоса для отдельной реализации процесса отсутствует предсказуемость даже на коротком промежутке времени.

В случае стохастического хаоса возможен прогноз лишь для средних величин, для оценки которых приходится привлекать теорию вероятности.

Согласно II закону Ньютона имеем:

m dv/dt = - a v + f

Описывает столкновение броуновской частицы с отдельными молекулами.

Если f = 0, то v = v₀ e^{- at/m}

Скорость v при этом будет случайной функцией времени.

F как случайная величина задается функцией распределения либо своими моментами, т. е. средней величиной, автокоррелляционной функцией.

Отличить регулярное движение от хаотического можно с помощью построения спектра мощности.

g (w) = e^iwt x(t) dt

i = Ö-1 Преобразование Фурье

x(t) p(w) = ô y(w) ô ²

w - параметр (частота), является параметром преобразования Фурье.

В случае регулярного движения имеются пики.

p

w

Дискретный спектр

В случае хаотического движения имеем дело со сплошным спектром.

хаос

сплошной спектр

Более точно отличить регулярное движение от хаоса можно с помощью расчета старшего показателя Ляпунова (характеризует разбегание ближайших траекторий).

x₁ > 0 хаос

x₁ < 0 регулярное движение.

Можно отличить детерминированный хаос от стахостического хаоса.

---

Дата добавления: 2015-07-15