Методика исследования стоячих волн на струне

Стоячей называется волна, образующаяся в результате суперпозиции двух бегущих навстречу друг другу синусоидальных волн, имеющих одинаковые частоты и амплитуды, а для поперечных волн - еще и одинаковые плоскости колебаний.

На практике стоячие волны получают, ограничивая область распространения бегущей волны и тем самым формируя волну отраженную. При этом происходит сложение колебаний падающей и отраженной волн.

Рассмотрим стоячую волну на струне (рис.1), концы которой жестко закреплены. Струна имеет предварительное натяжение, упругие силы в ней обеспечивают возможность возникновения поперечных (в направлении оси «у») колебаний частиц и распространения этих колебаний в направлении оси «х». Если струна выведена из положения равновесия и затем предоставлена самой себе, то в ней возникает бегущая волна (на рис.1 - сплошная линия), распространяющаяся с фазовой скоростью . На границе х = происходит ее отражение, и отраженная волна (на рис.1 - пунктирная линия) с такой же по значению фазовой скоростью распространяется в обратном направлении.

Бегущие волны описываются [1, с.273 - 277] волновым уравнением

решениями которого [1., с. 281 - 284] для падающей и отраженной волн являются

Уп = Уm × cos (w t - k x),
Уо = Уm cos (w t + k x + Dj),

где У_m - амплитуда колебаний частиц струны (амплитуда волны);

w = 2p × n = 2p - круговая частота, выраженная через частоту колебаний l, либо через фазовую скорость V_ф и длину бегущей волны l; К = - волновое число; х - расстояние, пройденное волной от начала координат за время t; Dj - фазовый сдвиг отраженной волны относительно волны падающей, зависящий от условий на границе отражения.

При суперпозиции падающей и отраженной волн получим стоячую волну

У = Уп + Уо = 2Уm cos (k x + ) × cos (w t + ),

где фазовый сдвиг Dj найдем, исходя из того, что в точке закрепления струны ее колебания отсутствуют. Так, при х = 0 будет у = 0, а это возможно при

cos (k x + ) = cos () = 0, т.е. при Dj = p. Поэтому падающая и отраженная волны на струне находятся в противофазе (рис.1), и при суперпозиции образуют стоячую волну, описываемую уравнением

У = 2Уm sin k x × sin w t.

(1)

Амплитуда стоячей волны

А = 2Уm çsin k x ê = 2Уm ç sin (2 p ) ê

зависит от координаты х и изменяется от А_min = 0 до А_max = 2У_m (см. рис.1).

Точки, в которых А = 0, называются узлами стоячей волны. Их координаты х_у получим из условия sin , откуда

ху = m ,

где m - 0, 1, 2, 3...

Точки, в которых А = А_max = 2 У_m, называются пучностями стоячей волны и, из условия имеют координаты

где m = 0, 1, 2, 3...

Точки струны, расположенные между двумя узлами, колеблются синфазно, а при переходе через соседний узел фаза их колебаний скачком изменяется на противоположную. Через положение равновесия (ось х) все точки колеблющейся струны проходят одновременно. Расстояние между двумя соседними узлами, равное половине длины бегущих волн, называется длиной стоячей волны (рис.1).

На длине струны может укладываться только целое число длин стоячей волны , поэтому всегда выполняется условие

где n = 1, 2, 3...

Из этого простого условия следуют важные выводы:

а) на ограниченной струне стоячая волна может возникать только в том случае, если длина l падающей и отраженной волн равна какому-либо значению из дискретного ряда, разрешенного условием

,

где n = 1, 2, 3...

б) свободные колебания ограниченной струны могут происходить только при «собственных частотах», имеющих какое-либо значение из дискретного ряда

,

(2)

где n = 1, 2, 3...

Число n принято называть номером гармоники. Колебания при n = 1 на частоте

(3)

называют первой гармоникой (в акустике - основным тоном). Высшие гармоники (в акустике - обертоны) соответствуют при n = 2, 3, 4 и т.д. частотам

Фазовая скорость V_Ф бегущей волны на струне определяется [ 2, с. 334 ] только силой F натяжения струны и линейной плотностью r ее материала по формуле

(4)

причем значение r при известной силе F может быть найдено экспериментально с помощью (2) или (3).

На рис.2 показаны стоячие волны, соответствующие первым трем гармоникам. Отметим существенное уменьшение амплитуды колебаний с ростом номера гармоник.

Скорость (рис.1) различных точек струны в процессе ее колебательного движения найдем, взяв производную по времени от (1)

Амплитуда этой скорости

принимает наибольшее значение V_уm(max) в пучности х_п стоячей волны при прохождении струной положения равновесия. Для первой w₁ = 2p n₁ гармоники это наибольшее значение скорости струны в точке

(5)

Особенность стоячих волн состоит в том, что они не имеют направления распространения, не переносят энергию колебательного движения. Частицы колеблющейся среды, находящиеся в узлах стоячей волны, всегда покоятся, а координаты узлов во времени и в пространстве не меняются. Остаются постоянными и координаты пучностей.

Дата добавления: 2015-07-15