Границы его применимости

Примеры, рассмотренные выше, соответствуют случаю, когда возвращающая сила пропорциональна х и не зависит, например, от x 2, x 3и т.д. Дифференциальное уравнение, содержащее не более, чем первые степени производных dx/dt, d2x/dt2 и т.д. называется линейным относительно х и её производных по времени. При этом уравнение называется однородным, если оно не содержит членов, не зависящих от х. Если в уравнении появляются степени функции х и её производных, то уравнение называется нелинейным.

Линейные однородные уравнения обладают следующим свойством: сумма двух любых решений уравнения также является его решением. Говорят, что колебания, которые описываются такими уравнениями, подчиняются принципу суперпозиции.

В качестве примера применения принципа суперпозиции рассмотрим малые колебания математического маятника. Рассмотрим два решения уравнения движения :

соответствующие двум разным начальным условиям (смещение и скорость). Предположим, что есть ещё одно начальное условие, которое является суммой соответствующих начальных условий для и . Это значит, что начальное смещение маятника представляет собой алгебраическую сумму начальных смещений и , а начальная скорость – алгебраическую сумму скоростей, соответствующих и .

Принцип суперпозиции применим для систем с любым числом степеней свободы.

Дата добавления: 2015-07-15