Если две пересекающиеся прямые одной плоскости, соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

Задачи:

1. В тетраэдре DABC точки P,Q и R лежат на отрезках DA, DB и DC соответственно так, что DP:PA = DQ:DB = DR:RC = 2:3. Докажите, что плоскость PQR параллельна плоскости АВС. Найти площадь треугольника PQR, если ВС = , АС = 4 и cosС = 0,5

Решение: 1) Для того, чтобы доказать параллельность плоскостей PQR и АВС, необходимо доказать, что, например QR || BC и QP || AB

Рассмотрим треугольники QDP и BDA:

Поэтому эти треугольники подобны. Из подобия этих треугольников следует, что (они лежат в подобных треугольниках против сходственных сторон), но эти же углы являются соответственными при пересечении прямых QP и BA секущей BD. Следовательно, прямые QP // BA.

Аналогично доказываем, что треугольники . Из подобия треугольников, делаем вывод о равенстве углов DQR и DBC, и снова, замечая, что эти углы соответственные при пересечении прямых QR, BC секущей DB делаем вывод о параллельности прямых QR, BC, т.е. QR||BC.

Итак:

Следовательно, по признаку параллельности плоскостей

2) т.к.

т.к.

Доказывая, что треугольники и коэффициент подобия , получаем:

. Треугольники и , значит

Но лучше подсчитать иначе:

т.к.

Ответ:

Дата добавления: 2015-07-15