Сформулируйте и докажите теорему о производной произведения двух функций.

Если 2 функции U и V дифференцированы в некоторой точке, то тогда ф-я, равная Y=U+V, также будет иметь производную, равную Y’=U’V+UV’

Док-во:

Y= =

Т.к. U(x₀+Dx)= U + DU = U(X₀)+DU, аналогично для V

Раскрываем скобки и группируем

Dx +Dxa) = 0 в силу непрерывности.

36Дайте определение многочлена Тейлора ф-ции f(x) в точке x0. Чему равны его производные в этой точке?

Пусть ф-ция f(x) имеет n производных в точке x0. Многочлен называется n-многочленом Тейлора ф-ции f(x) в точке x0.

Найдем производные:

аналогично

таким образом, для любого n, от 1 до к, выполняется равенство:

24. .

Дифференциалом функции в точке х₀ называется главная линейная часть приращения функции в этой точке

При Dx"0, dy=y’Dx или

= , 25= x₀, 0,12=Dx => f(x)= => f’(x)=1/10

5+0.1*0.12=5.012

Ln1,09.

Дифференциалом функции в точке х₀ называется главная линейная часть приращения функции в этой точке

При Dx"0, dy=y’Dx или

ln(1+0,09)= ln1+1*0.09=0.09

37.f(x)=x^3-2x^2+2x+5 разложить по целым степеням (х-2). T=x-2. X=t+2 g(t)=f(x)=(t+2)^3-2(t+2)^2+2(t+2)+5= =…=a0+a1t+a2t^2+a3t^3 f(x)=a0+a1(x-2)+a2(x-2)^2+a3(x-2)^3

38.f(x)=e^x по степеням (х+1) до (х+1)^3 x+1=t, x=t-1 g(t)=f(x)=e^(t-1)= 1/e *e^t=1/e (1+t/1!+t^2/2!+t^3/3! +0(t^3))=e^(-1) + e^(-1) *(x-1)/1!+ e^(-1) (x+1)^2/2!+e^(-1)(x+1)^3/3!+o(x+1)^3

39.найти многочлен тейлора Р3(х) в 1, если f(1)=5, f’(1)=-1, f’’(1)=4, f’’’(1)=3 P3(x)=f(1)+f’(1)/1! (x-1) +f’’(1)/2! (x-1)^2 + f’’’(1)/3! (x-1)^3 - подставить

Дата добавления: 2015-07-15