Условие коллинеарности векторов

• Векторы коллинеарны, если абсцисса первого вектора относится к абсциссе второго так же, как ордината первого — к ординате второго.
• Даны два вектора a (xa;ya) и b (xb;yb). Эти векторы коллинеарны, если x_a = λ x_b и y_a = λ y_b, где R.

Для того, чтобы прямая и плоскость были параллельны, необходимо и достаточно, чтобы вектор нормали к плоскости и направляющий вектор прямой были перпендикулярны. Для этого необходимо, чтобы их скалярное произведение было равно нулю.

Для того, чтобы прямая и плоскость были перпендикулярны, необходимо и достаточно, чтобы вектор нормали к плоскости и направляющий вектор прямой были коллинеарные. Это условие выполняется, если векторное произведение этих векторов было равно нулю.

Экономический смысл вектора. Если задано множество точек, то упорядоченную совокупность (x₁, x₂,..., x _n) n- вещественных чисел называют n-мерным вектором, а числа x_i (i = ) - компонентами, или координатами, вектора.

Если, например, некоторый автомобильный завод должен выпустить в смену 50 легковых автомобилей, 100 грузовых, 10 автобусов, 50 комплектов запчастей для легковых автомобилей и 150 комплектов для грузовых автомобилей и автобусов, то производственную программу этого завода можно записать в виде вектора (50, 100, 10, 50, 150), имеющего пять компонент. Векторы обозначают жирными строчными буквами или буквами с чертой или стрелкой наверху, например, a или `a. Два вектора называются равными, если они имеют одинаковое число компонент и их соответствующие компоненты равны.

Компоненты вектора нельзя менять местами, например, (3, 2, 5, 0, 1) ¹
¹ (2, 3, 5, 0, 1).

Произведением вектора x = (x₁, x₂,...,x_n) на действительное число l называется вектор l x = (l x₁, l x₂,..., l x_n).

Суммой векторов x = (x₁, x₂,...,x_n) и y = (y₁, y₂,...,y_n) называется вектор x + y = (x₁ + y₁, x₂ + y₂,..., x _n + y_n).

N - мерное векторное пространство R ⁿопределяется как множество всех n-мерных векторов, для которых определены операции умножения на действительные числа и сложение.

Экономическая иллюстрация n-мерного векторного пространства: пространство благ (товаров). Под товаром мы будем понимать некоторое благо или услугу, поступившие в продажу в определенное время в определенном месте. Предположим, что существует конечное число наличных товаров n; количества каждого из них, приобретенные потребителем, характеризуются набором товаров

x = (x₁, x₂,..., x_n),

где через x_i обозначается количество i-го блага, приобретенного потребителем. Будем считать, что все товары обладают свойством произвольной делимости, так что может быть куплено любое неотрицательное количество каждого из них. Тогда все возможные наборы товаров являются векторами пространства товаров C = { x = (x₁, x₂,..., x_n) ê x_i ³ 0, i = }.

Система e ₁, e ₂,..., e _m n-мерных векторов называется линейно зависимой, если найдутся такие числа l₁, l₂,..., l_m, из которых хотя бы одно отлично от нуля, что выполняется равенство l₁ e ₁ + l₂ e ₂ +... + l_m e _m = 0; в противном случае данная система векторов называется линейно независимой, то есть указанное равенство возможно лишь в случае, когда все l₁ = l₂ =... =
= l_m = 0.

Если рассматривать вектора в пространстве, то скалярным произведением двух векторов х= (х_ьх₂,...,х„) и у= (у _1, у₂,…у _n называется число

(х,у) = x₁у₁ + х₂у₂+...+х _nу_n = (3.1)

Cкалярное произведение имеет экономический смысл. Если, скажем, х= (х₁,х₂,...,х„) есть вектор объемов различных товаров, а у=(у_\,У₂,---,У_п) вектор их цен, то (х,у) выражает суммарную стоимость этих товаров.

Векторы е_х,е₂,...,е„ n-мерного евклидова пространства обра­зуют ортонормированный базис, если эти векторы попарно ортого­нальны и норма каждого из них равна единице, т.е. если (е_i,,е_i) = 0 при i не равно j и |е_i| = 1 при i = 1,2,...,п.

Дата добавления: 2015-07-15