Распределение Шарлье.

В экономике редко встречаются симметричные распределения, чаще всего это ассиметричные распределения.

При выравнивании таких рядов важно найти кривую, которая бы учитывала ассиметрию и эксцессу ряда.

Для рядов с умеренной асимметрией такой кривой может служить распределение Шарлье, частоты которой рассчитываются по формуле

где N- общее число единиц совокупности

- нормированный момент третьего порядка, выступающий в качестве показателя асимметрии ряда

- показатель эксцесса

- нормированные отклонения, по которой определяется

при нормальном распределении, и E₃=0. подставим в формулу и получим т.о распределение Шарлье представляет собой как бы нормальное распределение, скорректированное на показатели ассиметрии и эксцесса.

Распределение Пуассона.

К числу важнейших теоретических распределений, имеющих научное и практическое применение, относится распределение Пуассона.

Это распределение в своей классической форме присуще дискретным величинам и возникает в тех случаях, когда сами варианты х являются своего рода частотами, результатом подсчета какого-то редко встречающегося события среди наблюдаемых единиц, причем значений х вероятность их наступление падает.

График.

Аналитически распределение Пуассона выражается формулой

где

для распределения Пуассона характерно то, что равна математическому ожиданию, т.е.

нахождение теоретических частот при выравнивании ряда по распределению Пуассона производится в следующем порядке:

1 находится средняя арифметическая, т.е.

2 по таблице определяется

3 для х определяется теоретическая частота

где N – число единиц совокупности.

Пример

Имеется следующее распределение 500 рабочих по количеству выработанных ими бракованных изделий из 100 проверенных.

Кол-во бракованных изделий из 100 х	Число рабочих m	xm	Теоретические частоты m^/
итого

1

2 6, находим по таблице e ^-0.6=0.5488

3 находим

Распределение Пуассона, поскольку оно характерно для редко встречающихся явлений, иногда называют «законом малых чисел».

Сравнение частот эмпирического и теоретического распределения при помощи критериев согласия.

Вычисление теоретических частот происходит из той или иной гипотезы о предлагаемом законе распределения.

Следовательно, после расчета теоретических частот возникает необходимость проверки выдвинутой гипотезы о соответствии или несоответствии того или иного теоретического закона распределения, принятого в качестве математической модели для эмпирического распределения.

Проверка гипотезы строится на основе сопоставления частот эмпирического и теоретического распределений и суждения о случайности или существенности их расхождений. При этом исходят из того, что если расхождения между эмпирическими и теоретическими частотами можно считать случайными, то гипотеза о том, что принятая теоретическое распределение соответствует данному эмпирическому, не отвергается.

Критерий Пирсона «хи-квадрат»

Для оценки случайности или существенности расхождений между частотами эмпирического и теоретического распределения в статистике используют ряд показателей является критерий (хи- квадрат)

где m и m^/ - соответственно эмпирические и теоретические частоты.

если учесть, что , т.е. эмпирических и теоретических частот должна быть, равна, то из записанного выше следует:

или приняв, что , запишем в окончательном виде

Пирсоном найдено распределение величины и составлены таблицы, позволяющие определять вероятность наступления определенного значения для разного числа групп в вариационных рядах.

Если вероятность P() значительно отличается от 0, то расхождение между частотами теоретического и эмпирического распределений можно считать случайными, а гипотезу, выдвинутую при расчете теоретических частот, не отвергнутой для данного наблюдения.

При этом определенная по таблицам вероятность наблюдаемого значения принимается в зависимости от так называемого числа степеней свободы,

Под которым понимается число групп, частоты которых можно принимать значения, не связанные друг с другом. Практически для вариационного ряда число степеней свободы определяется как число групп в рассматриваемом ряду минус число ограничивающих эти два ряда связей.

Число ограничивающих связей, в свою очередь, определяется числом сведений эмпирического ряда, используемых при исчислении теоретических частот.

Так, например, в случае выравнивания ряда у кривой нормального распределения между эмпирическим и теоретическим распределением три связи

1 динаковая сумма частот

2

3

по этому при выравнивании по кривой нормального распределения число степеней свободы (к) определяется как n-3, где n число групп в ряду.

При выравнивании по кривой Пуассона k= n-2, так как в этом случае для нахождения теоретических частот учитывались две ограничивающие связи:

1

2

Для оценки существенности наблюдаемых значений при данном числе степеней свободы (k) могут использоваться таблицы двух типов.

1 тип По таблице отыскивается вероятность наступления наблюдаемого значения при данном числе степеней свободы (к).

Если вероятность близка к 0 (как правило, <0,05), расхождение между эмпирическими и теоретическими частотами считают существенными, а гипотезу не приемлемой для данного распределения.

2тип По таблице другого типа определяется предельное верхнее значение «хи – квадрата» (критическое значение) при данном числе степеней свободы и заданном уровне значимости. Затем наблюдаемое значение «хи- квадрат» сравнивают с табличным (критическим). Если фактическое (хи- квдрат) < табличного

_ф = _табл

то при заданном уровне значимости расхождения между эмпирическими и теоретическими частотами считают случайными, а гипотезу о принятом законе распределения приемлемой.

Под условием значимости в данном случае понимают вероятность, с которой может быть опровергнута гипотеза о том или ином законе распределения. Чем меньше уровень значимости, тем < вероятность не принять гипотезу. Обычно уровень значимости P()=a принимают 0,05 или 0,01, а отвечающая данной

вероятности (уровню значимости) при определенном числе степеней свободы величина считается критической.

Если превышает критическое значение, отвечающее принятому уровню значимости, то гипотеза о том или ином законе распределения не принимается.

Пример:

х	m	m^/	m-m^/	(m-m^/)^2
92.5 97.5 102.5 107.5 112.5 117.5 122.5 127.5			-1 -1 -7		0.5 0.14 0.06 0.375 0.17 2.88 4.5
итого				=8.625

Определяем число степеней свободы

К= n-3; n=8-3=5

Пользуясь таблицами второго типа, определяем, что при к=5 и уровне значимости предельное значение «хи-квадрата»=11,07. фактически же рассчитанное =8,625, т.е. < табличного и теоретического распределений не опровергнута.

Пользуясь критерием «хи-квадрат» для оценки степени соотношения эмпирических и теоретических распределений, следует иметь в виду, что он будет эффективны, если общий объем совокупности >50 и число единиц в каждом классе не менее 5.

Кроме того, следует учитывать, что данный критерий применим для сопоставления частот, т.е. абсолютных показателей.

Если же распределение дано в частях, т.е. в относительных показателя, то в формуле перед знаком должна учитываться общая численность единиц совокупности, т.е.

Критерий Романовскаго.

Критерий Романовского строится на основе использования упомянутого выше критерия «хи-квадрат», но не требует специальных таблиц для оценки существенности.

Критерий рассчитывается по формуле

где k –число степеней свободы. k= 8-3=5

расхождение между эмпирическими и теоретическими частотами считаются случайными, если критерий < 3.

расхождение между эмпирическими и теоретическими частотами можно считать случайными и гипотезу о нормальном распределении не опровергнутой.

Критерий ястремского.

Данный критерий базируется на использовании , но в отличие от критерия романовского Ястремский использует не число степеней свободы, а число групп (n) в вариационном ряду и собой величиной , зависящей от числа групп (для n<20 =0.6)

т.к. отношение значит < 3, то и по этому критерию приходим к тем же выводам, что расхождение между эмпирическими и теоретическими частотами случайно.

Все три критерия согласия основаны на сравнении частот эмпирического и теоретического распределения.

Критерий Колмагорова.

Данный критерий основан на сопоставлении накопленных частот или частостей, т.е. на сравнении интегральных распределений эмпирических и теоретических частот (частостей).

Критерий обозначают через

где d-абсолютная величина максимальной разности между накопленными частостями эмпирического и теоретического рядов распределений

N-численность единиц совокупности.

Если распределение задано в частотах

где D-максимальная разность (по модулю) накопленных частот двух распределений.

Пример

х	Частоты	Накопление частоты	Разность между накопленных частот (f^/-f^//)
Эмпирические m	Теоретические m^/	Эмпирические f^/	Теоретические f^//
92.5 97.5 102.5 107.5 112.5 117.5 122.5 127.5					max=4=D

По таблице определяем, что для нашего значения вероятность P() = 0.997. Как и для показателя Х² , считается вполне допустимым, если P()>0.05 гипотеза о нормальном распределении не опровергнута.

Дата добавления: 2015-07-15