Задание

Заданы математическое ожидание и среднее квадратичное отклонение нормально распределенной непрерывной СВ. Найти:

1) вероятность ;

2) вероятность ;

3) симметричный, относительно , интервал, в который попадает величина с вероятностью ;

4) интервал, в котором практически окажутся все значения величины .

Дайте графические пояснения ответов на кривой нормального распределения.

вар							вар
1.						0,6872	2.						0,7287
3.						0,7699	4.						0,8064
5.						0,8385	6.						0,8664
7.						0,6872	8.						0,8904
9.						0,9281	10.						0,9426
11.						0,9545	12.						0,9643
13.						0,9722	14.					2,5	0,9786
15.						0,9836	16.					1,5	0,9876
17.						0,4515	18.						0,5761
19.						0,5763	20.						0,6319
21.						0,6827	22.					0,5	0,4581
23.						0,5223	24.						0,5821
25.						0,1581	26.						0,2358
27.						0,3108	28.						0,3829
29.						0,3899	30.						0,4039
вариант	6 задание
1.	Автомат штампует детали. Контролируется длина детали (СВ ), которая распределена нормально со средним значением 50 мм. Фактическая длина изготовленных деталей – не менее 32 мм и не более 68 мм. Найти вероятность того, что длина наудачу взятой детали: а) больше 55 мм; b) меньше 40 мм.
2.	Производится взвешивание вещества. Случайные ошибки взвешивания подчинены нормальному закону со средним квадратическим отклонением г. Найти вероятность того, что взвешивание будет производиться с ошибкой, не превосходящей по абсолютной величине 10 г.
3.	Завод изготавливает шарики для подшипников диаметром мм. Фактический диаметр – есть СВ, распределенная по нормальному закону со средним значением и средним квадратическим отклонением . При контроле бракуются шарики, диаметр которых отличается от номинального больше, чем на мм. Определите, какой процент шариков в среднем отбраковывается.
4.	Вероятность попадания в цель из данного орудия при каждом выстреле равна . Найдите наименьшее число выстрелов из орудия, чтобы с вероятностью, не меньшей 0,99, частота попадания отклонилась по абсолютной величине от его вероятности не более чем на 0,01. Решите задачу а) применив неравенство Чебышева; b) применив интегральную теорему – формулу Лапласа.
5.	Дисперсия каждой из 1000 независимых случайных величин равна 4. Оцените вероятность того, что отклонение средней арифметической этих случайных величин от средней арифметической из математических ожиданий по абсолютной величине окажется меньше, чем 0,2.
6.	Вероятность наступления события А в каждом из 1000 независимых опытов равна 0,8. Найдите вероятность того, что число наступлений события А вэтих 1000 опытах отклонится от своего математического ожидания по абсолютной величине меньше, чем на 50.
7.	Торговая фирма продала 1000 единиц товара, получая прибыль по 50 тыс. рублей с каждой единицы. Гарантийный ремонт фирма осуществляет своими силами и терпит при этом убыток – около 200 тыс. рублей. Найти границы, в которых с вероятностью 0.9545 будет заключен доход фирмы, если в среднем гарантийный ремонт приходится делать в каждом десятом случае.
8.	Случайные ошибки измерения подчинены нормальному закону со средним квадратическим отклонением мм и математическим ожиданием . Найти вероятности того, что из трех независимых измерений ошибка хотя бы одного из них не превзойдет по модулю 4 мм.
9.	СВ распределена нормально с математическим ожиданием . Вероятность попадания в интервал (10;15) равна 0,2. Чему равна вероятность попадания в интервал (35; 40)?
10.	Найти систематическое ожидание и среднее квадратическое отклонение нормально распределенной СВ , если известно, что , а .
11.	СВ – ошибка измерений прибора – распределена по нормальному закону с дисперсией 0,16 мм^2. Систематическая ошибка прибора отсутствует. Найти вероятность того, что ошибка измерения не превзойдёт по модулю 0,6 мм.
12.	Случайное отклонение размера детали от стандарта подчинено нормальному закону с параметрами , мм. Годными считаются детали, для которых отклонение не превышает 10 мм. Определить среднее число годных деталей из ста выбираемых наудачу.
13.	Равномерно распределенная СВ задана в интервале . Найти математическое ожидание и дисперсию СВ .
14.	Монету бросают 100 раз. В каких пределах можно гарантировать число появлений гербов (Р =0,9973)?
15.	Монету бросают раз. В каких пределах можно гарантировать (Р =0,9973) число появлений гербов?
16.	При бросании трех игральных костей игрок выигрывает 18 руб., если на всех костях выпадает по 6 очков; 1руб. 40 коп., если на двух костях выпадает по 6 очков и 20 коп., если только на одной кости выпадет 6 очков. Какова должна быть ставка за участие в игре, чтобы игра была безобидной?
17.	Пусть масса пойманной рыбы подчиняется нормальному закону распределения с параметрами г и =25 г. Найти вероятность того, что масса одной рыбы составит: а) от 300 до 425 г, b) более 300 г.
18.	СВ подчинена закону нормального распределения. Найти параметры распределения, если известно, что вероятность принять значение меньше 35 равно 0,2, а больше 50 — 0,1.
19.	Определить среднюю квадратическую ошибку прибора, если систематических ошибок прибор не имеет, а случайные – распределены по нормальному закону и с вероятностью 0,997 не выходят за пределы .
20.	Прядильщица обслуживает веретен. Вероятность обрыва нити в течение одной минуты равна 0,002. Найти вероятность того, что в течение минуты обрыв произойдет: а) на двух веретенах, b) не более чем на двух.
21.	Размер детали распределен по нормальному закону с параметрами см и . Найти: a) размер практически выпускаемых деталей; b) вероятность того, что размер отличается от математического ожидания не более чем на 2 см.
22.	Результаты измерения расстояния между двумя поселками подчинены нормальному закону с параметрами км, =100 м. Найти вероятность того, что расстояние между этими пунктами: а) не менее 15,8 км, b) не более 16,25км, c) от 15,75 до 16,3км.
23.	Рост взрослого мужчины является случайной величиной, распределенной по нормальному закону с параметрами см и дисперсией 36. Вычислите вероятность того, что хотя бы один из наудачу выбранных четырех мужчин имеет рост от 168 до 172 см.
24.	Диаметр детали является СВ, распределенной по нормальному закону. Ее дисперсия равна 0,0001, а математическое ожидание — 2,5 см. Найти границы, в которых практически заключён диаметр этой детали.
25.	В конторе страхования застраховано 10000 клиентов одного возраста и одной социальной группы. Вероятность смерти клиента в течение года – 0,006. Каждый клиент 1 января вносит 12 долларов. Если в течение года он умрет, то контора обязана выплатить его родственникам 1000 долларов. Чему равна вероятность того, что: 1) контора разорится; 2) контора получит не менее 40000 долларов прибыли.
26.	Автоматическая линия изготавливает игольчатые ролики с диаметром, отличным от номинального на величину X, подчиняющуюся нормальному закону с mX = –0,005 мм. Ролик считается стандартным, если –0,01< X < 0, в противном случае – бракованным. Каким должно быть sX, чтобы брак не превышал 1%?
27.	По процентному содержанию фосфора в стали выделено две группы плавок. Первая группа содержит фосфор в пределах 0,025% – 0,035%, вторая – в количестве менее 0,025%. Процентное содержание фосфора в стали есть случайная величина X, распределенная нормально с mX = 0,03% и s X = 0,01%. Найти процент плавок, попадающих в каждую из выделенных групп.
28.	Ошибка X измерительного прибора распределена нормально. Систематической ошибки прибор не имеет (mX = 0). Каким должно быть среднее квадратическое отклонение σ X, чтобы с вероятностью не меньшей 0,9 ошибка измерения не превышала 20 микрометров (мкм).
29.	Два самолета, заходя вдоль длинного моста шириной 30 м, независимо друг от друга сбрасывают на него по одной бомбе, причем прицеливание происходит по продольной средней линии моста. Считая поперечные отклонения бомб от этой средней линии для обоих самолетов нормальной случайной величиной X с и sX =25 м, найти вероятность разрушения моста, если для этого достаточно одного попадания.
30.	На станке изготавливаются болты с номинальным значением диаметра 26 мм. Отклонение X диаметра от номинала есть случайная величина, распределенная нормально с математическим ожиданием и средним квадратическим отклонением sX = 0,002 мм. Болт считается годным, если его диаметр попадает в промежуток [25,985 мм, 25,995 мм ] (иначе говоря, выполняются неравенства ). Найти процент брака.
вариант	7 задание
1.	Среднее изменение курса акций компании в течение одних биржевых торгов составит 1%, а среднее квадратическое отклонение оценивается как 0,5%. Оценить вероятность того, что на ближайших торгах курс изменится не более, чем на 2%. Задачу решить: а) с помощью теоремы Чебышева; б) с помощью неравенства Чебышева.
2.	Какое минимальное число опытов следует провести, чтобы с вероятностью 0,95 можно было бы утверждать, что частота появления события будет отличаться по абсолютной величине от его вероятности, равной 0,6, не более чем на 0,02? Ответ дать с помощью неравенства Чебышева и следствия из интегральной теоремы Муавра-Лапласа.
3.	Страховой случай приходится примерно на каждый восьмой договор. Оценить с помощью неравенства Чебышева необходимое количество договоров, которые нужно заключить, чтобы с вероятностью, не меньшей 0,8, можно было утверждать, что доля страховых случаев отклонится от вероятности 0,125 не более чем на 0,01(по абсолютной величине). Уточнить результат с помощью следствия из интегральной теоремы Муавра-Лапласа.
4.	По данным статистической службы, в области 5,5 % трудоспособного населения – безработные. Оценить вероятность того, что в наудачу отобранной группе в 1000 человек из состава трудоспособного населения доля безработных будет заключена в границах от 4,5 до 6,5 %. Решить задачу с помощью неравенства Чебышева и следствия из интегральной теоремы Муавра-Лапласа.
5.	Адресная реклама приводит к заявке в одном случае из двадцати. Компания разослала 1000 рекламных проспектов. Почему нельзя с помощью неравенства Чебышева оценить вероятность того, что число заявок окажется в пределах от 30 до 60? Изменить правую границу так, чтобы применение неравенства Чебышева стало возможным и оценить соответствующую вероятность. Уточнить полученный результат с помощью следствия из интегральной теоремы Муавра-Лапласа.
6.	На основании биржевой статистики составлена следующая таблица возможных значений изменения курса валюты:
	Возможность изменения курса, %	–1	–0,5		0,5
Вероятность изменения	0,1	0,3	0,5	0,05	0,05
Найти вероятность того, что произойдет падение курса валюты, причем не более чем на 0,44%.
7.	Опыт показывает, что адресная реклама приводит к цели в одном из ста случаев. Найти границы, в которых будет находиться число сделанных по рекламе заказов, если всего разослано 5000 рекламных листков.
8.	В среднем каждая тридцатая видеокассета оказывается с браком. Почему нельзя с помощью неравенства Чебышева оценить вероятность того, что из 900 кассет число бракованных окажется в пределах от 20 до 35? Как надо изменить правую границу, чтобы применение неравенства Чебышева стало возможным? Решить задачу с измененной правой границей. Найти ту же вероятность с помощью следствия из интегральной теоремы Муавра-Лапласа и объяснить различие полученных результатов.
9.	Даны независимых неотрицательных случайных величин c математическим ожиданием и дисперсией (). C помощью неравенства Чебышева оценить вероятность того, что среднее арифметическое этих случайных величин не превзойдет величины, равной двум.
10.	Продолжительность горения лампочки является случайной величиной, дисперсия которой не превышает 10000. Пользуясь теоремой Чебышева, оценить наибольшее отклонение средней арифметической продолжительности горения 5000 лампочек от средней арифметической их математических ожиданий, если результат необходимо гарантировать с вероятностью не меньше 0,9.
11.	Средняя температура воздуха в июле в данной местности 20 градусов. Оценить вероятность того, что в июле следующего года средняя температура воздуха будет: а) не более 15 градусов; b) более 20 градусов.
12.	Вероятность того, что телевизор не потребует ремонта в течение гарантийного срока, равна 0,8. Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что из 600 проданных телевизоров доля таких, которые не потребуют гарантийного ремонта, будет от 0,78 до 0,82. Решить задачу, используя следствие из интегральной теоремы Муавра-Лапласа, и объяснить различие в полученных результатах.
13.	Ежедневный расход цемента на стройке – случайная величина, математическое ожидание которой равно 10 т, а среднее квадратическое отклонение 2т. Оценить с помощью неравенства Чебышева вероятность того, что в ближайший день расход цемента на стройке отклонится от математического ожидания не более чем на 3т (по абсолютной величине).
14.	Количество воды, используемое предприятием в течение суток, в среднем равно 200 м^3. Оценить вероятность того, что в ближайшие сутки расход воды на этом предприятии: а) не превысит 350 м^3; b) превысит 300 м^3.
15.	В среднем 70% посетителей магазина делают покупку. Оценить с помощью неравенства Чебышева вероятность того, что из 1000 человек, посетивших магазин, число покупателей, сделавших покупку, заключено в границах от 620 до 780 (включительно). Найти вероятность того же события с помощью теоремы Муавра-Лапласа и объяснить различие результатов.
16.	Вероятность того, что пара обуви будет продана, равна 0,8. Пользуясь неравенством Чебышева, оценить вероятность того, что из 400 пар обуви будет продано от 300 до 340 пар. Вычислить вероятность того же события, используя следствие из интегральной теоремы Муавра-Лапласа.
17.	Вероятность того, что в библиотеке имеется необходимая читателю книга, равна 0.7. Почему нельзя применить неравенство Чебышева для оценки вероятности того, что из 500 читателей число нашедших нужную книгу в библиотеке окажется от 330 до 375? Как следует изменить левую границу, чтобы применение неравенства Чебышева стало возможным? Решить задачу при соответствующем изменении левой границы.
18.	Было посажено 500 кустарников, вероятность прижиться каждому из них равна 0.8. Оценить вероятность того, что приживутся от 340 до 460 кустарников (включительно). Вычислить вероятность того же события, используя следствие из интегральной теоремы Муавра-Лапласа. Пояснить различие результатов.
19.	В среднем 90% изготовленных деталей стандартные. Используя неравенство Чебышева, найти число изделий, которое следует изготовить, чтобы с вероятностью не менее 0,75 можно было утверждать, что отклонение доли стандартных деталей от вероятности для детали быть стандартной не превзойдет 0,02 (по абсолютной величине).
20.	В отделе технического контроля проверяют 500 изделий. Вероятность того, что изделие бракованное, равна 0,5. Найти границы, в которых с вероятностью 0,9426 будет заключено число бракованных изделий среди проверенных.
21.	Сколько нужно произвести испытаний, чтобы с вероятностью 0,991 утверждать, что частота появления некоторого события будет отличаться от вероятности его появления в каждом испытании, равном 0,8, не более чем на 0,001 (по абсолютной величине)?
22.	В отделе технического контроля проверяют 480 шестеренок. Найти вероятность того, что отклонение числа бракованных от величины не превзойдет 8 шестеренок.
23.	Страховая компания заключает однотипные договоры, причем страховая премия составляет 1 млн. рублей, а при наступлении страхового случая компания должна выплатить 20 млн. рублей. Известно, что страховой случай наступает примерно в 4% случаев. Фирме удалось застраховать 500 клиентов. Какова вероятность того, что доход фирмы будет: а) 100 млн. рублей; b) более 100 млн. рублей?
24.	Вероятность наступления события в каждом из независимых испытаний равна 0.8. Найти число испытаний, при котором с вероятностью 0,7887 можно ожидать, что частота наступления события будет отличаться от его вероятности по абсолютной величине не более чем на 0,025.
25.	При испытании нового медицинского препарата оказалось, что он дает побочные явления в 5% случаев. Клинические испытания предполагается провести на 10 тыс. больных. Найти границы, в которых с вероятностью 0,99 будет заключена доля пациентов, которым придется испытать побочные явления от нового препарата.
26.	Опрос показал, что адресная реклама в среднем в каждом пятом случае приводит к тому, что потенциальный покупатель приобретает рекламируемый товар. Торговая фирма от продажи единицы товара получает прибыль 20 тыс. рублей. Найти границы, в которых с вероятностью 0,95 будет заключен доход компании, если рекламой охвачено 500 адресатов.
27.	В магазине каждому покупателю, сделавшему покупку более чем на 25 тыс. рублей полагается бесплатный пакет. Известно, что число покупателей за день заведомо не превосходит 200, при этом покупку более чем на 25 тыс. рублей делает примерно каждый четвертый. Какое количество пакетов должен иметь на день работы магазин, чтобы их хватило с вероятностью, не меньшей 0,95.
28.	После рекламной компании, проведенной в городе с населением 200 тыс. человек, строительная фирма, занимающаяся установкой летних коттеджей, получила 50 заявок. Какова вероятность, что в городе с населением 20 тыс. человек число заявок будет не менее пяти?
29.	Для отдельного результата измерения случайная величина не превосходит 3. Производится 1000 измерений этой величины. Какие границы можно гарантировать с вероятностью 0,95 для результата измерения среднего арифметического этих величин? Ответ дать с помощью неравенства Чебышева.
30.	Производится испытание нового оружия, причем основным показателем служит частота попаданий по стандартной мишени. Разработчики утверждают, что вероятность попадания равна 0,8. Какое количество выстрелов по мишени необходимо сделать, чтобы с вероятностью 0,95 можно было утверждать, что частота попаданий отклонится от вероятности попадания не более чем на 0,01?

Дата добавления: 2015-07-15