Н1: признак Х имеет закон распределения, отличный от нормального.

Проверка статистических гипотез

1. Базовые понятия.

2.

3. Критерий согласия Пирсона.

4. Литература.

1

2

3

Во многих практических задачах точный закон распределения исследуемого признака Х генеральной совокупности неизвестен. В этом случае необходимо проверить гипотезу о предполагаемом законе распределения. Выдвигаются нулевая гипотеза Н ₀ и ей конкурирующая Н ₁.

Например, Н0: признак Х имеет нормальный закон распределения.

Н1: признак Х имеет закон распределения, отличный от нормального.

Нулевая гипотеза проверяется с помощью критерия согласия. Критерий c ² (“хи-квадрат”) Пирсона – наиболее часто употребляемый критерий, может применяться для проверки гипотезы о любом законе распределения. Независимо от того, какое распределение имеет Х, распределение случайной величины c ²:

,

где – эмпирические частоты, – теоретические частоты; при стремится к c ² – распределению с k степенями свободы.

Теоретические частоты определяются, исходя из предположения о законе распределения генеральной совокупности, в данном случае о нормальном законе. Так как , где р_i – теоретическая вероятность, то .

Для дискретного ряда: , где , –дифференциальная фун­кция нормированного нормального распределения, шаг , – выборочная средняя, – выборочное среднее квадратическое отклонение.

Для интервального ряда: , где Ф (t) – функция Лапласа.

Рассчитав теоретические частоты, находят . Из таблицы критических точек распределения c ² по заданному уровню значимости a (достаточно малая вероятность) и числу степеней свободы k находят (a, k) – границу правосторонней критической области (см. рис.). Здесь k = s – r – 1, где s – число различных значений x_i дискретного или число интервалов (x_{i– 1} – x_i ) непрерывного признака Х, r – число параметров предполагаемого закона распределения, для нормального распределения r = 2, отсюда k = s – 3. Затем сравнивают и (a, k) и делают вывод.

а) б)

При формулировке вывода руководствуются следующим правилом:

· если наблюдаемое значение критерия попало в область принятия гипотезы ( < (a, k)), как показано на рис. а), то нет оснований отвергать нулевую гипотезу, по данным наблюдения признак Х имеет нормальный закон распределения, расхождение между эмпирическими и теоретическими частотами ( и ) случайное;

· если наблюдаемое значение критерия попало в критическую область ( > (a, k)), как показано на рис. б), то нулевая гипотеза отвергается, справедлива конкурирующая гипотеза, то есть признак Х имеет закон распределения, отличный от нормального, расхождение между эмпирическими и теоретическими частотами ( и ) значимо.

Задача 1. Используя критерий Пирсона при уровне значимости 0,05, установить, случайно или значимо расхождение между эмпирическими и теоретическими частотами, которые вычислены, исходя из предположения о нормальном распределении признака Х генеральной совокупности:

							12.

Решение. Выдвигаем нулевую гипотезу Н ₀ и ей конкурирующую Н ₁.

Н ₀: признак Х имеет нормальный закон распределения.

Н ₁: признак Х имеет закон распределения, отличный от нормального.

В данном случае рассматривается правосторонняя критическая область. Проверим гипотезу с помощью случайной величины , которая имеет распределение c ² с k = s – 3 = 7 – 3 = 4 степенями свободы. Вычислим наблюдаемое значение критерия c ² по выборочным данным. Расчеты представим в таблице:

			1,6 1,5 0,118 1,25 0,222 8,909 0,333
Итого			13,932.

» 13,93; (0,05; 4) = 9,5 (приложение 4). Сравниваем и (0,05; 4).

Так как > (0,05; 4), то есть наблюдаемое значение критерия попало в критическую область (см. рис. 5 б), нулевая гипотеза отвергается, справедлива конкурирующая гипотеза, то есть признак Х имеет закон распределения, отличный от нормального, расхождение между эмпирическими и теоретическими частотами значимо.

Задача 2. Установить закон распределения признака Х – затраты времени на обработку одной детали, данного в примере 6.

Решение. Признак Х – затраты времени на обработку одной детали.

Выдвигаем нулевую и конкурирующую гипотезы.

Н ₀: признак Х имеет нормальный закон распределения.

Н ₁: признак Х имеет закон распределения, отличный от нормального.

Для проверки гипотезы сделана выборка объемом n = 100, и по данным выборки найдены выборочные характеристики: _в = 28 мин, s _в= 1,93 мин (рас­считаны в примере 6). Гипотеза проверяется с помощью случайной величины , которая имеет распределение c ² с k = s – 3 = 6 – 3 = 3 степенями свободы. Предварительно рассчитаем теоретические частоты по формуле:

, так как ряд интервальный.

Расчеты представим в таблице:

xi+ 1			xi
34	–2,07 –1,04 1,04 2,07 3,11	–0,4807 –0,3508 0,3508 0,4807 0,49901		–3,11 –2,07 –1,04 1,04 2,07	–0,49901 –0,4807 –0,3508 0,3508 0,4807	1,83»2 12,99»13 35,08»35 35,08»35 12,99»13 1,83»2
Итого	-	-	-	-	-	99,8»100.

Рассчитаем наблюдаемое значение критерия, расчеты запишем в таблице:

			0,08 0,03 0,71 0,69
Итого			1,51.

Итак, = 1,51; (0,01; 3) = 11,3 (приложение 4). Сравниваем и (0,01; 3).

Так как < (0,01; 3), то есть наблюдаемое значение критерия попало в область принятия гипотезы (см. рис. 5 а), нет оснований отвергать нулевую гипотезу, по данным наблюдения она справедлива, признак Х имеет нормальный закон распределения. Расхождение между эмпирическими и теоретическими частотами случайное.

Итак, признак Х – затраты времени на обработку одной детали, имеет нормальный закон распределения (по данным выборки).

4

1. Гмурман, В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика / В.Е. Гмурман. - М.: Высшая школа, 1977.

2. Гмурман, В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике / В.Е. Гмурман. - М.: Высшая школа, 1997.

3. Калинина, В.Н., Математическая статистика / В.Н. Калинина, В.Ф. Панкин. - М.: Высшая школа, 1994.

4. Мацкевич, И.П. Сборник задач и упражнений по высшей математике (Теория вероятностей и математическая статистика) / И.П. Мацкевич, Г.П. Свирид, Г.М. Булдык. - Минск: Вышейша школа, 1996.

5. Заварзина, И.Ф. Статистическая обработка результатов измерений: методические указания к курсовому проектированию по курсу «Математическая статистика» / И. Ф. Заварзина, И. А. Данилина, А. С. Ионова. – М., 2001.

6. Тимофеева, Л.К. Сборник задач по теории вероятностей и математической статистике / Л.К. Тимофеева, Е.И. Суханова, Г.Г. Сафиулин. – Самара: Самарск. экон. ин-т, 1992.

7. Тимофеева Л.К. Теория вероятностей и математическая статистика / Л.К. Тимофеева, Е.И. Суханова, Г.Г. Сафиулин. – Самара: Самарск. гос. экон. акад., 1994.

8. Тимофеева Л.К. Математика для экономистов. Сборник задач по теории вероятностей и математической статистике / Л.К. Тимофеева, Е.И. Суханова. – М.: УМиИЦ «Учебная литература», 1998. –182 с.

Дата добавления: 2015-07-15