Проверка статистических гипотез

1.Статистические гипотезы. 2.Статистическая проверка гипотез. Ошибки первого и второго рода. 3.Критическая область. Область принятия гипотезы.

Введение

С теорией статистического оценивания параметров тесно связана проверка статистических гипотез. Она используется всякий раз, когда необходим обоснованный вывод о преимуществах того или иного способа инвестиций, измерений, стрельбы, технологического процесса и т.п.

Пример А. Требуется знать закон распределения генеральной совокупности, который неизвестен, однако есть основания предполагать, что он имеет определенный вид (назовем его А). Тогда выдвигается гипотеза: генеральная совокупность распределена по закону А.

Пример В. Закон распределения известен, но неизвестны его параметры. Если есть основания предполагать, что неизвестный параметр равен определенному значению , то выдвигается гипотеза = .

Возможны и другие примеры гипотез: о равенстве параметров двух или нескольких распределений, о независимости выборок и т.д.

Вопрос 1. Статистические гипотезы

О.1.1. Статистической гипотезой называется любое предположение о виде неизвестного распределения или о параметрах известных распределений.

Пример1.

1. Генеральная совокупность распределения по закону Пуассона - статистическая гипотеза (предположение о виде неизвестного распределения)

2. Дисперсии двух нормальных совокупностей равны между собой - статистическая гипотеза (предположение о параметрах двух известных распределений).

3. На Марсе есть жизнь – не статистическая гипотеза.

Наряду с выдвинутой гипотезой рассматривают и противоречащую ей гипотезу. Если выдвинутая гипотеза будет отвергнута, то имеет место противоречащая гипотеза.

О.1.2 Выдвинутая гипотеза называется нулевой (основной).

О.1.3. Гипотеза , противоречащая нулевой гипотезе, называется конкурирующей (альтернативной).

Пример 2.

Нулевая гипотеза (математическое ожидание нормального распределения равно ).

Конкурирующая гипотеза .

Различают гипотезы, которые содержат только одно и более одного предположений.

О.1.4. Простой называется гипотеза, содержащая только одно предположение.

О.1.5. Сложной называется гипотеза, которая состоит из конечного или бесконечного числа простых гипотез.

Пример 3.

Если параметр показательного распределения, то гипотеза простая, а гипотеза - сложная (состоит из бесчисленного множества простых гипотез вида , где - любое число, большее 5).

Вопрос 2. Статистическая проверка гипотез. Ошибки первого и второго рода

Выдвинутая гипотеза может быть правильной или неправильной; поэтому возникает необходимость ее проверки. Поскольку проверку правильности и неправильности производят статистическими методами, то ее называют статистической.

В результате статистической проверки гипотезы может быть принято правильное или неправильное решение. Поэтому различают ошибки двух родов.

О.2.1. Ошибка первого рода состоит в том, что будет отвергнута правильная гипотеза.

Ошибка второго рода состоит в том, что будет принята неправильная гипотеза.

Результаты проверки статистической гипотезы

гипотеза	принимается	отвергается
верна	правильное решение	ошибка первого рода
неверна	ошибка второго рода	правильное решение

Последствия этих ошибок могут оказаться весьма различными.

Например, если отвергнуто правильное решение «продолжать строительство жилого дома», - то эта ошибка первого рода повлечет материальный ущерб. Если же принято неправильное решение «продолжать строительство», несмотря на опасность обвала стройки, то эта ошибка второго рода может повлечь гибель людей.

Замечание

Вероятность совершать ошибку первого рода обозначается через и называется уровнем значимости. Наиболее часто уровень значимости принимают равным или .

Если, например, принять уровень значимости , то это означает, что в пяти случаях из ста мы рискуем допустить ошибку первого рода (отвергнуть правильную гипотезу).

Вопрос 3. Критическая область. Область принятия гипотезы.

Для проверки нулевой гипотезы вводят специально подобранную случайную величину, распределение которой известно. Обозначим эту величину через .

(Эту величину обозначают через или , если она распределена нормально; по закону Стьюдента, по закону « квадрат» и т.д.)

О.3.1. Статистическим критерием (или просто критерием) называется случайная величина , которая служит для проверки нулевой гипотезы .

Для проверки гипотезы по данным выборок вычисляют частные значения входящих в критерий величин, и таким образом получают частное (наблюдаемое) значение критерия.

О.3.2. Наблюдаемым значением _набл. называется значение критерия, вычисленное по выборкам.

Область возможных значений критерия разбивают на два непересекающихся подмножества: одно из них содержит значения критерия, при которых нулевая гипотеза отвергается, а другое – при которых она принимается.

О.3.3. Критической областью называется совокупность значений критерия, при которых нулевая гипотеза отвергается.

О.3.4. Областью принятия гипотезы называется совокупность значений критерия, при которых нулевая гипотеза принимается.

Основной принцип проверки статистических гипотез состоит в следующем:

Если наблюдаемое значение критерия _набл. принадлежит критической области, то гипотезу отвергают, а если _набл. принадлежит области принятия гипотезы, то гипотезу принимают.

Поскольку критерий - одномерная случайная величина, все ее возможные значения принадлежат некоторому интервалу. Поэтому критическая область и область принятия гипотезы также являются интервалами, и, следовательно, существуют точки, которые их разделяют.

О.3.5. Критическими точками (границами) _кр. называются точки, отделяющие критическую область от области принятия гипотезы.

Различают одностороннюю (правостороннюю или левостороннюю) и двустороннюю критические области.

О.3.6. Критическая область называется:

1) правосторонней, если она определяется неравенством К > _кр, где _кр > 0;

2) левосторонней, если она определяется неравенством К < _кр, где _кр < 0;

К

3) двусторонней, если она определяется неравенствами и , где .

В частности, если критические точки симметричны относительно нуля, двусторонняя критическая область определяется неравенствами (при _кр > 0):

К < – _кр и К > _кр Û > _кр.

Дата добавления: 2015-07-15