Различать положительный, знакопеременный, знакочередующийся, гармонический, обобщенный гармонический, колеблющийся ряды, ряд Лейбница;

1.1. Примеры положительных числовых рядов

1.

2.

3.

4.

5.

1.2. Примеры знакопеременных числовых рядов

1.

2.

3.

1.3. Примеры знакочередующихся числовых рядов

1.

2.

3.

1.4. Гармонический числовой ряд

1.

1.5. Примеры обобщенных гармонических рядов

1.

2.

3.

1.6. Примеры колеблющихся числовых рядов

1.

1.7. Примеры рядов Лейбница

1.

2.

3.

1.8. Примеры бесконечных произведений

1.

2.

3.

2. Находить

2.1. Нахождение общего члена числового ряда

Пример 1. Написать одну из возможных формул для общего члена ряда, зная его первые 4 члена:

.

Решение. Рассмотрим последовательность числителей 2, 5, 8, 11. Они образуют арифметическую прогрессию, первый член которой равен 2, а разность равна 3. Поэтому в качестве общего выражения числителя можно взять выражение общего члена арифметической прогрессии . Знаменатели 2, 6, 18, 54 образуют геометрическую прогрессию с первым членом 2 и знаменателем 3. Поэтому в качестве их общего выражения можно взять . Тогда общий член ряда принимает вид:

.

Пример 2. Написать одну из возможных формул для общего члена ряда

Решение. Рассмотрим последовательность числителей 2, 3, 4, 5. Они образуют арифметическую прогрессию, первый член которой равен 2, а разность равна 1. Поэтому в качестве общего выражения числителя можно взять . Знаменатели 3, 7, 11, 15 образуют арифметическую прогрессию, первый член которой равен 3, а разность равна 4. Поэтому в качестве общего выражения знаменателя можно взять . Общий вид степеней 1, 2, 3, 4: . Поэтому общий член исходного числового ряда будет иметь вид

Пример 3. Написать одну из возможных формул для общего члена ряда

Решение. Рассмотрим последовательность числителей 2, 5, 8, 11. Они образуют арифметическую прогрессию, первый член которой равен 2, а разность равна 3. Поэтому в качестве общего выражения числителя можно взять . Знаменатели 1, 3, 9, 27 образуют геометрическую прогрессию, первый член которой равен 1, а знаменатель равен 3. Поэтому в качестве общего выражения знаменателя можно взять . Поэтому общий член исходного числового ряда будет иметь вид

Пример 4. Написать одну из возможных формул для общего члена ряда

Решение. Исходный ряд

Значит, общий член имеет вид

2.2. Нахождение n-ой частичной суммы числового ряда

Замечание. При решении примеров можно воспользоваться равенством:

Пример 1. Найти 101-ую частичную сумму числового ряда

Решение.

Пример 2. Найти 80-ую частичную сумму числового ряда

Решение.

Пример 3. Найти 50-ую частичную сумму числового ряда

Решение.

Пример 4. Найти 6-ую частичную сумму числового ряда

Решение. Воспользуемся формулой суммы членов геометрической прогрессии:

Пример 5. Найти 99-ую частичную сумму числового ряда

Решение.

---

Дата добавления: 2015-07-18