Композиции преобразований

(Двумерных)

При работе с Гибкой системой объект подвергается сразу нескольким преобразованиям. Для получения желаемого результата используют композицию преобразований, объединяя матрицы . К точке более эффективно применять одно результирующее преобразование, чем ряд преобразований друг за другом.

Рассмотрим, например, поворот объекта относительно некоторой точки .

Но до этого был рассмотрен поворот относительно начала координат. Для решения этой задачи разобьем ее на три части (три элементарных преобразования):

1. Перенос (точку в начало координат), .

2. Поворот, .

 

3. Перенос (точку из начала координат назад), .

Результирующее преобразование имеет вид: или:

Этот пример хорошо иллюстрирует, как применение однородных координат упрощает задачу.

Аналогично, если надо промасштабировать объект относительно точки , а не начала координат, то надо:

1. Перенести точку в начало координат, .

2. Масштабировать, .

3. Перенести точку назад, .

Результат имеет вид:

Если нам надо промасштабировать, повернуть и расположить в нужном месте домик. Центром поворота и масштабирования является точка .

Необходимо выполнить:

1. Перенос (точку в начало координат), .

2. Масштабирование, .

3. Поворот, .

4. Перенос (точку из начала координат назад), .

В структуре данных, в которой содержится это преобразование, могут находиться масштабный коэффициент , угол поворота и координаты . Но может быть и записана матрица результирующего преобразования:

.

(Трехмерных)

Путем объединения элементарных трехмерных преобразований можно получить другие преобразования.

Пример. Преобразовать из начальной позиции в конечную точку переносится в начало координат, — располагается вдоль отрицательной полуоси .

На длины отрезков преобразование не воздействует.

Для выполнения этой задачи рассмотрим четыре шага:

1. Перенос точки в начало координат.

2. Поворот вокруг оси до совмещения с плоскостью .

3. Поворот вокруг оси до совмещения с отрицательной полуосью .

Шаг 1

Применим к :

Шаг 2

Поворот вокруг оси на угол (угол положительный)

Подставляя эти выражения в матрицу поворота, находим:

Шаг 3

 

Поворот вокруг оси (угол отрицательный)

,

где

.

Результат поворота:

,

теперь совпадает с осью .

Дата добавления: 2015-07-14