Потери энергии при движении жидких сред

Характер и виды потерь энергии. Ламинарный и турбулентный режимы движения. Получение конкретных зависимостей для расчета потерь энергии при движении жидкости в трубах и каналах является основным содержанием внутренней задачи гидродинамики. Различают два вида потерь энергии при установившемся напорном движении жидкости: потерю энергии по длине h_l и местные потери энергии, каждую из которых обозначим h_мс.

К потере энергии по длине относится та часть энергии потока, которая расходуется на преодоление трения в прямолинейных участках труб и каналов, где движение жидкости равномерное или плавноизменяющееся. Эта энергия переходит в теплоту и безвозвратно теряется потоком.

К местной потере энергии относится та часть энергии потока, которая расходуется также на преодоление трения, но в местах, где поток претерпевает резкую деформацию. В результате на некотором сравнительно небольшом участке нарушается равномерное движение жидкости, ее скорость изменяется по величине и направлению. Деформация потока (нарушение его нормальной конфигурации) имеет место при его входе в трубу, при резком расширении и сужении трубопровода, в местах, где установлены вентили, краны, при поворотах трубы и т. п.

Представим поток в трубопроводе (Рис. 1.38), включающем участки: поворот А; резкое расширение Б; резкое сужение В; задвижку Г (частично открытую).

Помимо потерь энергии по длине между сечениями 1-1 и 2-2 в данном случае будут еще четыре местные потери энергии.

В общем случае для участка потока в трубе, заключенного между двумя сечениями, полная потеря энергии

. (1.146)

Чтобы определить величину касательных напряжений, обусловливающих потери энергии, необходимо изучить режимы движения жидкости (ламинарный и турбулентный).

При ламинарном (от лат. lamina - слой) движении отдельные частицы жидкости в трубе перемещаются по прямолинейным траекториям параллельно стенкам трубы и друг другу. Никаких поперечных перемещений частиц не происходит. Иначе говоря, жидкость в круглой трубе движется как бы концентрическими кольцевыми слоями, которые не перемешиваются между собой.

При турбулентном (от лат. turbulentus - неупорядоченный, бурный) движении отдельные частицы жидкости или целые группы частиц конечных размеров («жидкие комки») ведут себя приблизительно как молекулы по представлениям кинетической теории газов, т. е. пребывают в состоянии хаотичного движения. Поскольку поток в целом движется прямолинейно, «жидкие комки» наряду с общим поступательным движением имеют и случайные поперечные перемещения; во всем потоке происходит процесс непрерывного перемешивания частиц жидкости.

Турбулентный поток по своим свойствам резко отличается от ламинарного. При ламинарном режиме потери энергии по длине пропорциональны первой степени скорости, при турбулентном - приблизительно квадрату скорости.

Условия перехода от ламинарного течения капельной жидкости к турбулентному и,наоборот в круглых трубах впервые в 1883-1885 гг. изучил английский ученый О. Рейнольдс. Он установил, что этот переход определяется четырьмя физическими величинами: средней скоростью течения u, диаметром трубы d, вязкостью жидкости m и ее плотностью r, составляющими безразмерный комплекс, получивший название критерия (числа) Рейнольдса Re .

В своих исследованиях Рейнольдс пришел к выводу, что существует некоторое критическое значение Re _кр, являющееся границей между ламинарным и турбулентным режимами течения, и нашел его: Re _кр = 2320.

При Re > 2320 движение будет турбулентным, а при Re<2320 - ламинарным.

Более тщательные исследования, выполненные в последние годы, свидетельствуют о том, что в практике нередко встречаются с течениями, когда в потоках есть ламинарные и турбулентные участки. При возрастании числа Re и приближении его к критическому в ламинарном потоке образуются очаги, имеющие турбулентный характер. Это явление называется перемежаемостью. Ее характеристикой является коэффициент перемежаемости = , выражающей долю времени существования турбулентного режима в рассматриваемой точке пространства. При полностью ламинарном течении = 0, при полностью турбулентном = 1.

Перемежающая турбулентность существует в пределах изменения числа Рейнольдса от 2000 до 4000, поэтому более точные условия существования ламинарного и турбулентного режимов течения в трубах следующие: Re < 2000 - ламинарный режим, Re > 4000 - турбулентный режим. Критическое значение числа Рейнольдса зависит от структуры потока, наличия примесей. Значения чисел Рейнольдса (Re < 2000 и Re > 4000)относятся к равномерному течению чистых жидкостей и газов в трубах. При неравномерном движении на значение Re _кр существенно влияет характер изменения скоростей вдоль течения. Например, в сужающихся трубах (конфузорах), где скорость возрастает по течению и само течение более устойчиво, нижнее значение Re _кр резко возрастает (до 20000 для труб круглого сечения). В расширяющихся трубах (диффузорах), где скорость уменьшается по течению, переход от турбулентного режима к ламинарному происходит при Re _кр < 2000.

Решение уравнения движения вязкой жидкости Навье - Стокса для ламинарного режима: законы Стокса, Гагена-Пуазейля, формулы Дарси-Вейсбаха и Пуазейля. Движение вязкой жидкости, в том числе и ламинарное, описывается уравнениями Навье-Стокса (1.56)

(1.147)

которые замыкаются уравнением неразрывности

(1.148)

и характеристическим уравнением .

Для установившегося движения несжимаемой однородной жидкости в цилиндрической трубе уравнения упростятся, т. к. - установившееся движение; - несжимаемая жидкость; - осесимметричное течение; r = const - однородная жидкость.

Для условий поля сил земного тяготения X = Y = 0, Z = - g. Уравнения Навье-Стокса примут вид

;

; (1.149)

,

а уравнение неразрывности

(1.150)

Анализируя (1.150) можно придти к выводу, что скорость в продольном направлении не изменяется.

Второе уравнение (1.149) означает, что в направлении горизонтальной оси изменение давления равно нулю, иначе говоря, давление в горизонтальных плоскостях постоянно.

Третье уравнение (1.149) выражает закон распределения давления в вертикальных плоскостях. Вследствие малого диаметра труб, применяемых на практике, изменение давления по сечению трубы будет незначительным, поле давления в нем можно считать однородным, а третьим уравнением можно пренебречь. Тогда уравнение движения вязкой несжимаемой однородной жидкости в цилиндрической трубе

. (1.151)

Поскольку правая часть (1.151) является функцией только y и z, а левая - только x, то ввиду независимости координат друг от друга существование его возможно в том случае, когда каждая ее часть представляет собой постоянную величину (метод разделения переменных).

Заменяя частную производную полным дифференциалом и обозначая через падение давления на участке трубы длиной l, получим

const . (1.152)

Знак «-» означает уменьшение давления в направлении оси x. Величина представляет собой потери давления на единицу длины, идущие на преодоление сил трения при движении жидкости.

Рассмотрим некоторое кольцевое сечение на расстоянии r от оси трубы при ламинарном режиме движения жидкости в трубе (Рис. 1.39).

Так как y = z = r, то с учетом (1.152) уравнение (1.149) принимает вид

, (1.153)

но u_x зависит только от r, следовательно уравнение можно записать через полный дифференциал

. (1.154)

Повторно интегрируем (1.154):

,

. (1.155)

Найдем постоянные интегрирования в (1.155): при r = 0 (на оси трубы) , следовательно, c ₁ = 0; при r = R (на стенке трубы) u_x = 0, т. к. вблизи стенки существует прилипший слой жидкости (условие прилипания). Тогда из (1.155)

, а .

Следовательно,

.

Окончательно имеем

. (1.156)

На оси трубы скорость

, (1.157)

имеет максимальное значение и с учетом (1.157)

. (1.158)

Уравнение (1.158) выражает собой закон параболического распределения скоростей по сечению трубы (закон Стокса). Линии равных скоростей (изотахи) будут представлять собой концентрические окружности, а их совокупность образует поверхность параболоида вращения.

Среднюю скорость определим из уравнения расхода

.

Элементарную площадку выберем в форме кольца радиусом r и толщиной dr (см. Рис. 1.39), в пределах которого скорость одна и та же и определяется по

.

Площадь кольца = (с точностью до малых второго порядка).

Полный расход через площадь поперечного сечения трубы

.

Итак,

, (1.159)

или, выражая радиус трубы через ее диаметр из (1.159), получаем уравнение Хагена-Пуазейля

. (1.160)

Площадь поперечного сечения трубы , или, выражая радиус трубы через ее диаметр , .

Тогда , или . (1.161)

Сравнивая выражения для средней и максимальной скоростей, можно сделать вывод, что средняя скорость равна половине максимальной

. (1.162)

Гидравлическое сопротивление при ламинарном движении. Запишем уравнение Бернулли для двух сечений трубопровода

.

Если трубопровод горизонтален и одного сечения, то z₁ = z₂ и , а

. (1.163)

Выразим из (1.163) перепад давлений , и поставим его значение в формулу (1.160):

. (1.164)

Расход жидкости в трубе при ламинарном режиме движения может быть определен также по уравнению (1.26):

.

Приравняем правые части уравнений (1.164) и (1.26):

,

откуда

. (1.165)

Умножим и разделим (1.1) на , тогда

или . (1.166)

Обозначая через - коэффициент гидравлического трения в трубах, получим формулу Дарси-Вейсбаха

. (1.167)

При расчете потерь энергии по длине трубопровода некруглого сечения в формулу (1.167) подставляют эквивалентный диаметр, рассчитанный по формуле (1.30), а определяют как функцию от числа Рейнольдса, подсчитанного по эквивалентному диаметру , причем

, (1.168)

где B - коэффициент формы, постоянный для данной формы живого сечения: квадрат - 57, равносторонний треугольник - 53, кольцо - 96.

Зависимость (1.167) называют формулой Пуазейля.

Касательные напряжения при ламинарном движении. Согласно закону Ньютона (1.10)

.

Подставляя в (1.10) значение u_x, получим

.

При r = 0 (на оси трубы), = 0; при r = R (на стенке трубы), .

Тогда , откуда для ламинарного режима движения имеем линейное распределение касательных напряжений по сечению трубы (Рис. 1.40).

Касательное напряжение на стенке

или . (1.169)

Отношение касательного напряжения на стенке к плотности имеет размерность квадрата скорости и носит название динамической скорости или скорости касательного напряжения на стенке и обозначается

. (1.170)

Согласно (1.126) - гидравлический уклон.

Из (1.169)

. (1.171)

Преобразуем формулу Дарси-Вейсбаха к виду ; так как , то , или с учетом (1.178) , откуда

. (1.172)

Из (1.28) следует и . (1.173)

Основные характеристики турбулентного движения. Подавляющее число движений, встречающихся в технике – турбулентное. Хаотичность турбулентного движения с кинематической точки зрения означает, что скорости жидкости в отдельных точках пространства, через которые она протекает, непрерывно изменяется по величине и направлению.

Скорость u в данной точке турбулентного потока, измеренную в данный момент времени, называют мгновенной. Мгновенная скорость с течением времени изменяется (Рис. 1.41).

Рис. 1.41. Характер изменения мгновенной скорости

Осредненной называют среднюю за некоторый промежуток времени скорость в данной точке:

, (1.174)

где - промежуток времени, для которого производится осреднение.

Понятие осредненной скорости впервые было предложено Буссинеском (1868 г.) и развито Рейнольдсом. С помощью этого понятия действительный турбулентный поток с его беспорядочно движущимися массами жидкости заменяют воображаемой моделью потока, представляющей совокупность элементарных струек. Их скорости по величине и направлению равны осредненным скоростям.

Отклонение мгновенной скорости от ее осредненного значения,

, (1.175)

называют пульсационной скоростью или пульсацией. Для установившегося движения пульсации изменяют свою величину и знак так, что эффект их осреднения во времени равняется нулю

. (1.176)

Для , промежуток времени осреднения должен быть достаточно большим. Учитывая, что флуктуация скорости в турбулентном потоке происходит с большой частотой, промежуток времени, необходимый для ее осреднения, составляет несколько секунд.

Турбулентные касательные напряжения и механизм их возникновения.

Рис. 1.42. Механизм возникновения турбулентных касательных напряжений

Выделим элементарный слой жидкости, движущейся в направлении оси x с осредненной скоростью (Рис. 1.42). За время dt (меньшее периода осреднения) в силу наличия пульсационной составляющей скорости в поперечном направлении через площадку пройдет элементарная масса жидкости .

Для определения количества движения этой массы жидкости в направлении оси x ее нужно умножить на пульсационную составляющую скорости в направлении x - . Следовательно, количество движения равно .

Внедряясь в близлежащий слой (на Рис. 1.42 он показан пунктиром), элементарная масса теряет свое количество движения, вследствие чего возникает импульс силы .

Сила имеет одинаковое направление со слоем и стремится подтянуть (подравнять по скорости) площадку, лежащую вблизи и обозначенную штриховой линией, к площадке . Однако в соответствии с законом Ньютона возникает сила сопротивления , тормозящая движение этой площадки,

. (1.177)

Поделив обе части уравнения (1.177) на , получим выражение для касательного напряжения .

Итак, касательные напряжения в турбулентном потоке обусловливаются пульсациями или обменом количества движения между соседними слоями жидкости. Слой, движущийся с большей скоростью, подтягивает за собой отстающий и наоборот слой, который движется медленнее, тормозит опережающий. Знак «минус» показывает, что сила сопротивления имеет направление, противоположное продольной пульсации.

Осредненные касательные напряжения

, (1.178)

причем в (1.178) осредненное значение произведения пульсаций не равно нулю.

В схематизированном турбулентном потоке, кроме указанных сил турбулентного обмена вследствие пульсаций, еще проявляются (главным образом вблизи стенки) силы внутреннего трения или вязкости, определяемые по формуле (1.10). Полное касательное напряжение от турбулентных пульсаций и сил вязкости

= + = + . (1.179)

Коэффициент турбулентного переноса. В 1867 г. Буссинеск предложил турбулентное касательное напряжение изображать внешне похожим на закон вязкостного трения Ньютона (1.10)

, (1.180)

где

, (1.181)

называют коэффициентом турбулентной вязкости, или коэффициентом турбулентного переноса. В отличие от коэффициента динамической вязкости в формуле (1.10) коэффициент учитывает не молекулярную структуру жидкости, а особенности турбулентного движения. Он зависит от расстояния до твердой стенки. С приближением к твердой стенке турбулентность затухает, и уменьшается.

Измеряя осредненные скорости и пульсации потока, можно с помощью выражения (1.181) определить коэффициент в данной точке. В некоторых точках потока в сотни и даже тысячи раз больше . Выражение для полного касательного напряжения в турбулентном потоке (1.186) может быть записано как

. (1.182)

Масштаб турбулентности и диссипация энергии. Формулы (1.178) и (1.182) не раскрывают физического содержания явления, поскольку диссипация (рассеяние) энергии происходит не вследствие фиктивной турбулентной вязкости , а в результате действия молекулярной вязкости при беспорядочном движении отдельных частиц жидкости.

По А.Н. Колмогорову механизм диссипации следующий. В турбулентном потоке существуют пульсации разных масштабов. Под масштабом пульсаций (турбулентности) понимают порядок величины расстояний, пройденных «жидкими комками» при их беспорядочном движении в турбулентном потоке как единое целое (с сохранением их индивидуальности). Наибольший масштаб турбулентности определяется размерами установки. Крупномасштабные пульсации переходят в пульсации меньшего масштаба практически без рассеивания энергии, пока они не станут достаточно малыми. Так возникает своеобразный «каскадный» процесс, при котором энергия осредненного движения последовательно передается все меньшим пульсациям, вплоть до движений минимального масштаба, где превалирует влияние вязкости.

Полуэмпирическая теория турбулентности Прандтля. Закон распределения скоростей по сечению трубы. Трудности, возникающие при попытках математического описания турбулентного движения, привели к возникновению полуэмпирических теорий турбулентного движения.

Кратко рассмотрим теорию Л. Прандтля (1933 г.), сыгравшую значительную роль в становлении науки о турбулентности и не потерявшую своего значения до настоящего времени.

Центральным в теории Прандтля является допущение, что продольные и поперечные пульсации в формуле (1.185) пропорциональны в соответствующих точках градиенту осредненной скорости:

, (1.183)

где y - расстояние от стенки; l - длина пути перемешивания. Под путем перемешивания понимается расстояние в поперечном направлении, которое проходят комки жидкости, сохраняя свою индивидуальность (Рис. 1.43).

Пройдя путь перемешивания, комок жидкости практически мгновенно смешивается с окружающей средой.

Подставив выражения (1.183) в формулу (1.178), получим

, (1.184)

Очевидно, возможный масштаб пульсаций тем меньше, чем ближе данная струйка осредненного движения к стенке. Прандтль предположил, что

, (1.185)

где = const - универсальная постоянная Прандтля.

Турбулентное касательное напряжение

, (1.186)

а полное

. (1.187)

Из соотношения (1.194) видно, что с приближением к твердой стенке можно попасть в такую область потока, в которой турбулентное касательное напряжение окажется значительно меньше молекулярного и им можно будет пренебречь. Область, в которой молекулярное касательное напряжение значительно больше турбулентного касательного напряжения, называется вязким подслоем (Рис. 1.44), а турбулентным ядром - область, где >> . Буферный слой .

В вязком подслое скорости быстро нарастают от стенки, градиент скорости велик, его можно считать величиной постоянной, а распределение скоростей в вязком подслое - линейным.

Рассмотрим распределение скоростей в турбулентном ядре потока. Из (1.186) находим , откуда

. (1.188)

Для интегрирования этого уравнения Прандтль ограничил пределы интегрирования пространством от вязкого подслоя внутрь турбулентного ядра, принимая, что в турбулентном ядре потока касательное напряжение постоянно и равно касательному напряжению на стенке, т. е. const. Но по (1.177) - динамическая скорость, следовательно,

. (1.189)

Интегрируя (1.189), находим закон распределения скоростей по нормали к стенке трубы в турбулентном ядре потока

. (1.190)

Итак, распределение скорости по нормали к стенке трубы в турбулентном ядре подчиняется логарифмическому закону. Определим значение С в уравнении (1.190) из граничных условий. На оси трубы имеет место максимальная скорость . Следовательно, на оси трубы = , а y=r, тогда

. (1.191)

Определив из (1.191) значение С и подставив его в уравнение (1.190), получим

. (1.192)

Для построения эпюры скоростей по этому уравнению необходимо иметь в виду, что координата y лежит в пределах , где - толщина вязкого подслоя. Определим . В вязком подслое , или . Но , тогда .

В пределах вязкого подслоя из-за линейного распределения скоростей , где - скорость на границе вязкого подслоя.

Тогда или

. (1.193)

Величина , сходная по структуре с числом Рейнольдса, по опытным данным равна 11,6 = N.

Из (1.193) находим толщину вязкого подслоя

. (1.194)

Учитывая из (1.172), умножая и деля (1.194) на d, получим

. (1.195)

С увеличением числа Рейнольдса толщина вязкого подслоя уменьшается.

Определим среднюю скорость при турбулентном режиме движения из уравнения расхода.

Объемный расход , а т. к. y = r₀-r, где r - текущий радиус трубы, то

. (1.196)

Элементарная площадка кольцевого сечения трубы

. (1.197)

Объемный расход с учетом (1.196) и (1.197)

. (1.198)

Интегрируя (1.198), получаем

,

где средняя скорость

. (1.199)

Обозначая , получим , откуда

. (1.200)

По своему физическому смыслу D представляет собой недостачу средней скорости до максимальной, определенной в безразмерной форме. Поэтому эта величина называется дефицитом скорости. Опыты показывают, что D - малоизменяемая величина, равная . Тогда

. (1.201)

Гидравлическое сопротивление при турбулентном движении. Как и при ламинарном движении определяется по формуле (1.167). Входящий в нее коэффициент при ламинарном режиме движения зависит только от числа Рейнольдса, а при турбулентном - от многих факторов, при этом зависимость от числа Рейнольдса оказывается более сложной.

Из (1.172) следует

. (1.202)

Подставляя в (1.202) значение из (1.199) имеем

. (1.203)

Определим , входящее в (1.203). Из (1.192)

. (1.204)

На границе вязкого подслоя при , (1.204) преобразуется:

. (1.205)

Согласно (1.194) , а имеем

.

Тогда (1.205) примет вид

. (1.206)

Подставляя (1.206) в (1.203) и переходя к десятичным логарифмам, имеем

. (1.207)

Из опытных данных И. Никурадзе, полученных в 1932 г. под руководством Л. Прандтля, следует = 0,4, D = 3,75. Соответственно (1.207)

. (1.208)

Формула Прандтля-Никурадзе (1.208) рассчитана теоретическим путем в предположении, что толщина вязкого подслоя d больше высоты выступов шероховатости D (Рис. 1.45, а), благодаря чему вязкий подслой как бы устраняет влияние этих выступов на развитие водоворотных образований турбулентного потока.

Рис. 1.45. Схема течения турбулентного потока: а – толщина вязкого подслоя больше высоты выступов шероховатости; б – толщина вязкого подслоя меньше высоты выступов шероховатости

Однако во многих случаях это условие не соблюдается. Толщина вязкого подслоя d уменьшается при росте числа Рейнольдса, поэтому в одной и той же трубе с данной неизменной шероховатостью, но увеличенным расходом Q, а, следовательно, и Re нарушается условие и шероховатость начинает оказывать свое влияние. При очень больших числах Re шероховатость играет решающую роль (Рис. 1.45, б).

Для шероховатых труб Никурадзе получена полуэмпирическая формула

. (1.209)

Недостаток формулы (1.208) ( представляется в ней в неявном виде) решается методом последовательных приближений, лучше с помощью ЭВМ. Этого недостатка лишена формула Конакова

(1.210)

и широко распространенная формула Альтшуля

. (1.211)

При турбулентном течении в условиях прямого влияния шероховатости стенок на гидравлическое сопротивление потока широко используются результаты опытов. Никурадзе провел исследования с латунными трубами, поверхность которых можно считать гладкой, и с трубами, имеющими равномерно-зернистую шероховатость. Искусственная равномерно-зернистая шероховатость создавалась песчинками одинаковой крупности, наклеенными с помощью лака на внутреннюю поверхность трубы. Относительная искусственная шероховатость при диаметре зерен песка и диаметре трубы d в опытах изменялась в пределах , а относительная гладкость . Опыты проводились в широком диапазоне изменения чисел Рейнольдса. По измеренному перепаду давлений из формулы Дарси-Вейсбаха определяли l (Рис. 1.46).

На Рис. 1.46 нанесены линия для l при ламинарном движении (1) и линия для l по формуле Блазиуса для турбулентного потока в трубах с гладкими стенками (2)

, (1.212)

а также опытные точки и линии для труб с искусственной шероховатостью. На графике установлены три характерные зоны: зона сопротивления ламинарного потока I при , когда =f( Re ); промежуточная зона II при Re от 2300 до Re , когда коэффициент сопротивления является функцией и числа Re, и относительной шероховатости , т. е. когда ; зона квадратичного сопротивления III, когда - функция только относительной шероховатости k и практически не зависит от Re: l = f(k).

Для квадратичной и промежуточной зон существуют многочисленные эмпирические формулы. Рассмотрим наиболее распространенные.

Рис. 1.46. Зависимость коэффициента гидравлического трения от числа Рейнольдса для искусственной равномерно-зернистой шероховатости в трубах (по Никурадзе): 1 – ламинарное движение; 2 – турбулентный поток в трубах с гладкими стенками

Для квадратичной зоны (при Re ) предложены формулы Никурадзе (1.209) и Шифринсона

, (1.213)

где k _э - так называемая эквивалентная шероховатость. Под эквивалентной шероховатостью понимается такая высота выступов равномерной шероховатости, применение которой в формулах, содержащих , приводит к вычислению коэффициента сопротивления для данной категории русл в реальных условиях. Числовые значения k _э имеются в справочной литературе.

Для промежуточной зоны, когда , следует отметить формулы Колбрука и Альтшуля. Колбрук, употребив формулу Прандтля (1.215) для гладких труб и формулу Никурадзе (1.209) для шероховатых труб, вывел для промежуточной зоны формулу

. (1.214)

Альтштуль, использовав формулу Блазиуса (1.212) для гладких труб и формулу Шифринсона (1.213) для шероховатых, предложил формулу

. (1.215)

При очень больших числах Re, когда можно пренебречь величинами и 68/Re, формулы Колбрука и Альтшуля превращаются соответственно в формулы для шероховатых труб: первая - в формулу Никурадзе, вторая - в формулу Шифринсона. Когда можно пренебречь для гладких труб величинами и , формула Колбрука переходит в формулу Прандтля для гладких труб, а формула Альтшуля - в формулу Блазиуса.

Характер изменения закономерностей для l в первой и третьей зонах объясняется теорией Прандтля так. Толщина вязкого подслоя обратнопропорциональна числу Рейнольдса, ибо с увеличением Re возрастают турбулентные пульсации и ширина турбулентного ядра потока. При относительно малых значениях Re и малой шероховатости стенок (см. Рис. 1.45, а) вязкий подслой как бы покрывает шероховатость (). В этом случае шероховатость стенок не влияет на сопротивление, поскольку в вязком подслое возмущения, вызванные шероховатостью, сразу же угасают. Это и есть область гидравлически гладких труб. При больших значениях Re и большой шероховатости стенок (Рис. 1.45, б) толщина вязкого подслоя меньше высоты выступов шероховатости стенок (), и завихрения, образующиеся за выступами шероховатости, значительно влияют на эффект перемешивания, а следовательно, и на сопротивление, что характеризует область шероховатых труб.

Полуэмпирическая теория Прандтля дала возможность качественно и количественно описать закономерности турбулентного течения для гладких и шероховатых труб. Однако она не отражает особенностей сопротивления в промежуточной области между гладкими и шероховатыми трубами.

Потери энергии в местных сопротивлениях. Формулы Вейсбаха. Силы трения на участках резкоизменяющегося и прерывистого движений жидкости распределяются в потоке неравномерно, поэтому теоретическое определение местных потерь напора затруднено.

Местные потери энергии происходят на некоторой длине потока l_m, включающей участки резкоизменяющегося и неравномерного движений. На практике l_m часто бывает пренебрежимо малой по сравнению с общей длинной потока (трубопровода). Считают, что l_m= 0, а значение местных потерь энергии h_м.с относят к одному поперечному сечению потока. Потерю по длине h_l условно считают распределенной по всей длине потока равномерно.

В пределах местного сопротивления наблюдаются деформация эпюр скоростей вдоль потока, повышение пульсаций скоростей и давлений. Так как турбулентные касательные напряжения определяются пульсационными составляющими скоростей (1.185), то они увеличиваются при увеличении пульсаций, что, в свою очередь, влечет за собой повышение потерь напора. Рассматривая далее местные потери напора при турбулентном режиме движения жидкости, будем иметь в виду только область квадратичного сопротивления.

Потери энергии потоком при резком расширении трубопровода. Формула Борда. Величину местной потери энергии при протекании жидкостью стыка труб разного диаметра в направлении от меньшего диаметра к большему, с некоторыми допущениями, можно определять теоретически. Поток (струя), выходящий из трубы D₁ (Рис. 1.47), на некоторой длине l_в (в связи с наличием продольных сил трения, действующих на ее боковой поверхности) расширяется и в сечении 2^'-2^' заполняет все сечение трубы D₂. На длине l_в поток отрывается от стенок трубы? и образуется водоворотная зона А, имеющая в данном случае кольцевую форму. На протяжении расширяющего потока (между сечениями 1-1 и 2^'-2^') и переходного участка (между сечениями 2^'-2^' и 2-2) получается неравномерное движение, местами резкоизменяющееся.

Между сечениями 1-1 и 2-2 возникает местная потеря энергии (напора) h _м.с. Ее называют потерей напора на резкое расширение потока, обозначая h_р.р. Впервые расчетную зависимость для h_р.р получил французский инженер Борда, который уподобил резкое расширение потока явлению удара твердых неупругих тел. Для вывода формулы Борда составим систему из уравнений Бернулли и количества движения.

Уравнение Бернулли, выражающее закон сохранения энергии в потоке жидкости, учитывает внешние и внутренние силы, уравнение количества движения - только внешние. Решая совместно эти два уравнения, определим работу внутренних сил трения, обуславливающих искомую потерю напора. Для упрощения рассуждений и выводов будем считать участок трубопровода с внезапным расширением горизонтальным, а движение в нем - равномерным . Тогда уравнение Бернулли для сечения 1-1 и 2-2

. (1.216)

Разность давлений р₁-р₂ найдем по уравнению количества движения, согласно которому секундное изменение количества движения потока в направлении какой-либо оси равно сумме проекций на ту же ось всех внешних сил, действующих на участок потока между сечениями 1-1 и 2-2,

, (1.217)

где Т_х - проекция на направление движения внешней силы трения, действующей со стороны стенок трубы на рассматриваемый отсек жидкости abcd. Так как длина участка потока между сечениями 1-1 и 2-2 невелика, то касательной силой пренебрегаем и считаем Т_х= 0 (первое допущение); G_х - проекция собственного веса отсека abcd на направление движения, G_х= 0; R_х - проекция (на направление движения) реакции стенок (без учета сил трения); величина R_х = R, где R - давление вертикальной стенки ad, имеющей кольцевую форму, на жидкость; Р_х - сумма проекций на ось x сил гидродинамического давления P₁ и P₂, действующих соответственно на торцевые сечения 1-1 и 2-2 выделенного потока.

Сумму R_х+Р _х в (1.217) можно представить в виде

R_х+Р _х =(P₁-P₂)+R=(P₁+R)-P₂. (1.218)

Поскольку в сечении 2-2 равномерное движение, давление в нем распределяется по гидростатическому закону. Примем, что давление по всему сечению 1-1 (по площади ad, охватывающей поток и водоворотную область) также распределяется по гидростатическому закону (второе допущение). При этом можем записать

, (1.219)

где p₁ и p₂ - гидродинамические давления в центрах тяжести сечений 1-1 (круга ad) и 2-2 (круга bc); - площадь сечения второй трубы (т. е. площадь круга ad или bc).

Тогда с учетом (1.219) уравнение (1.218) примет вид

,

или

. (1.220)

Умножая и деля (1.220) на 2 и подставляя его в уравнение (1.216), имеем

, (1.221)

т. е. формула Борда

. (1.222)

Разность называют потерянной скоростью. Согласно формуле Борда потеря напора при резком расширении равняется скоростному напору, отвечающему потерянной скорости.

Преобразуем формулу Борда, вынося сначала за скобки с учетом того, что ,

.

Обозначим , тогда

. (1.223)

Вынесем за скобки и получим .

Обозначим через , тогда

. (1.224)

Коэффициенты и - это коэффициенты местного сопротивления при резком расширении потока.

Потери энергии при выходе потока из трубы в резервуар. Данный случай >> , а = . Потеря на выход = . Если нельзя считать достаточно большой величиной, то можно представить зависимостью , где .

Постепенное расширение трубопровода (диффузор). Диффузор устраивают для уменьшения потери энергии , возникающей при переходе трубы меньшего диаметра в трубу большего диаметра. Как показывает опыт, картина протекания жидкости в диффузоре следующая (Рис. 1.48).

Рис. 1.48. Схема течения жидкости в диффузоре

При угле в пределах 0< <8…10° на всем протяжении диффузора наблюдается безотрывное протекание жидкости (см. Рис. 1.48, а). При 8…10°< <50…60° поток отрывается от стенок, причем с увеличением угла точка начала отрыва перемещается вверх по течению (см. Рис. 1.48, б). При >50…60° на всем протяжении диффузора имеется отрыв потока от стенок (см. Рис. 1.48, в). Потерю напора в диффузоре выражают в долях потери напора в резком расширении

= , (1.225)

где – эмпирический коэффициент, зависящий от угла (Рис. 1.49).

Величина в основном зависит от угла . Как видно из графика (см. Рис. 1.49), построенного на основании опытных данных, наивыгоднейший угол, при котором получаются наименьшие потери, » 6². При = 40² потери равны потерям в резком расширении, а при » 70² они максимальны.

Сужение трубопровода. Вход в трубопровод. Имеются различные случаи сужения трубопровода: резкое (Рис. 1.48, а), постепенное (Рис. 1.48, б), плавное (Рис. 1.48, в).

Рис. 1.49. График для определения коэффициента

Особый случай представляет собой сужение, называемое наиболее резким (Рис. 1.50).

Частицы жидкости М, движущейся вдоль стенки аб, должны в точках б резко изменить направление своего движения на противоположное. При этом благодаря силам инерции частиц поток оторвется от стенки бс, и получится кольцевая водоворотная область А (Рис. 1.51).

Дата добавления: 2015-07-14