ПРИМЕР № 8

Раскрыть статическую неопределенность балки и построить эпюры перерезывающих сил и изгибающих моментов (Рис. 8,а)

Решение. Балка является статически неопределимой т.к. число реакций равно четырем, а уравнений статики три

Основную систему (рис.8.б.) получим, отбросив правую опору и заменив ее влияние на балку неизвестной х₁

Записываем каноническое уравнение

d₁₁ х₁+D_1F=0

Для построения грузовой эпюры определяем реакции опор от распределенной нагрузки (рис.8,в).

åF_кх=0 Н_А=0;

åМ_A=0

åМ_В=0

Грузовая эпюра изгибающих моментов для основной системы приведена на рис.8,г. (все эпюры построены в килоньютонометрах –кН×м)

Для построения единичной эпюры вместо неизвестной х прикладываем единичную силу (рис.8,д) и определяем реакции опор.

åF_кх=0 Н_А=0;

åМ_A=0

åМ_В=0

; .

Единичная эпюра приведена на рис.8,е.

Для определения коэффициента d₁₁ эпюру М₁ умножим

на М₁

Для определения коэффициента D F₁ эпюру М_F умножим на М₁

Подставим найденные значения перемещений каноническое уравнение.

.

Сократим уравнение EJ

20x₁-38=0; x₁= .

Таким образом статическая неопределимость балки раскрыта.

Для построения эпюры перерезывающих сил и окончательной эпюры изгибающих моментов определим реакции опор от распределенной нагрузки и от реакции х₁ (рис. 8,ж).

åF_кх=0 Н_А=0;

åМ_A=0

åМ_В=0

;

.

Эпюры перерезывающих сил и изгибающих моментов представлены на рис.8,з и рис.8,и.

Проверка решения задачи заключается в получении результата равного нулю, при перемножении окончательной эпюры изгибающих моментов на единичную эпюру.

Для удобства перемножения разложим окончательную эпюру изгибающих моментов на правом участке балки (рис.8,к). т.е. построим отдельно эпюры от реакции х₁ и от распределенной нагрузки q. Единичная эпюра повторена на рис.8,л

ПРИМЕР № 9

Рассмотрим пример расчета статически неопределенной рамы, изображенной на рис.9,а. Рама два раза статически неопределима. В качестве основной системы примем ломаный брус с защемленным правым концом (рис.9,б).

Решение. Приведем канонические уравнения

х₁d₁₁+х₂d₁₂+D_1q=0

х₁d₂₁+х₂d₂₂+D_2q=0

Единичные и грузовая эпюры изгибающих моментов для основной системы показаны на рис. 9,в,г,д.

Для определения коэффициента d₁₁ эпюру М₁ умножаем на М₁

Для определения d₁₂ и d₂₁ эпюру М₁ умножим на М₂

Для определения d₂₂ эпюру М₂ умножим на М₂

Умножим поочередно грузовую эпюру М_q на единичные эпюры М₁ и М₂; в результате этого найдем свободные члены системы канонических уравнений

Подставим найденные величины перемещений в канонические уравнения и сократим их на общий множитель

Решив эту систему уравнений, найдем

Для построения окончательной эпюры изгибающих моментов прикладываем к основной системе заданную нагрузку и найденные усилия х₁ и х₂, причем х₁ направляем справа налево, так как в результате решения канонических уравнений значение х₁ получено со знаком «минус» (рис.9,е).

Составим теперь уравнения изгибающих моментов для каждого участка рамы.

Сечение I-I:

при х₁=0

при х₁=

при х₁=а

Определяем . Для этого первую производную от М^I по х приравниваем к нулю:

откуда

и

Сечение II-II:

при х₂=0

при х₂=а

Окончательная эпюра изгибающих моментов изображена на

рис. 9,ж.

Окончательную эпюру изгибающих моментов можно построить и другим способом. Умножим все ординаты единичной эпюры М₁ на х₁= , а эпюры М₂- на х₂= . Полученные таким путем эпюры М₁ и М₂ показаны на рис.9,з,и. Сложив (по характерным сечениям) эпюры М₁ и М₂ друг с другом и с эпюрой М_q (рис.9,д), получим значения ординат окончательной эпюры М: в сечении горизонтального элемента рамы (ригеля) у защемленного (правого) конца.

а у левого конца

Для определения изгибающего момента в произвольном сечении стойки рамы эту стойку можно рассматривать как простую балку с приложенной по ее длине заданной нагрузкой q и приложенным в верхнем конце моментом (рис.9,К). Нижняя опорная реакция этой балки

а изгибающий момент в сечении х₁ балки

По полученным значениям ординат строится окончательная эпюра М (рис. 9,ж).

На основании рассмотренного примера можно установить следующий порядок расчета статически неопределенных систем.

1.Выбирается основная статически определимая система –путем

отбрасывания в заданной системе лишних связей.

2.Действие отброшенных связей возмещается приложением к основной системе неизвестных усилий.

3.Составляются канонические уравнения, которые показывают, что полные перемещения в основной системе, возникающие по направлениям неизвестных усилий и заданной нагрузки, равны нулю.

4. Основная система поочередно нагружается единичными усилиями х₁=1, х₂=1, …, х_n=1 и от каждого из них отдельно строятся единичные эпюры изгибающих моментов М_i. Помимо этого строится грузовая эпюра изгибающих моментов М_F.

5.Вычисляются все коэффициенты d_iF системы канонических уравнений путем перемножения единичных эпюр.

6. Определяются грузовые члены D_iF системы канонических уравнений путем перемножения единичных эпюр с грузовой эпюрой.

7. Решается система канонических уравнений, в результате чего находятся значения неизвестных х₁, х₂, …, х_n.

8. Для получения окончательной (суммарной) эпюры изгибающих моментов ординаты каждой из единичных эпюр умножаются на найденное значение соответствующего неизвестного и все результаты суммируются (по отдельным точкам осей системы) с добавлением к ним ординат грузовой эпюры моментов. Или к основной системе прикладываются найденные неизвестные усилия и заданная нагрузка, а затем от их суммарного воздействия строится эпюра изгибающих моментов, которая является окончательной эпюрой и для заданной системы.

ПРИМЕР № 10

Для стержня, нагруженного осевой сжимающей силой определить критическую нагрузку F_сг и допускаемую F_adm. Длинна стержня l = 7м, коэффициент запаса устойчивости К_у = 2,

сечение- двутавр № 24 а.

l

Рис. 10

Решение. Определим гибкость стержня

.

Коэффициент приведения длинны m = 0,5.

i_min= iy=2,63см (по ГОСТ 8239-56*);

Для Ст.3 l_пред=100, следовательно l>l_пред и формула эйлера применима.

,

где принято Е = 2,1 10⁷Н/см², J_min=J_y=260см⁴.

Определяем допускаемое значение силы

ПРИМЕР № 11

Для стержня, нагруженного осевой сжимающей силой F=600кН, определить размеры поперечного сечения, состоящего из четырех равнобоких уголков и коэффициент запаса устойчивости Ку (см.рис.11). Допускаемое напряжение d_adm=160Мпа, длинна стержня l=3,9м, концы его шарнирно-оперты. Материал-Ст.3.

F

у

х

l

Рис.11

Решение. Подбор сечения производим путем последовательных приближений. В первом приближении ориентировочно принимаем j₁=0,5. Необходимая площадь поперечного сечения стержня

Из сортамента видно, что эту площадь можно получить, беря четыре уголка 100´ 100´ 10мм с А=4×19,2см² Jх=179см⁴ и z₀=2,83 см. При этом для всего поперечного сечения стержня

А=4×19,2=76,8 см²

J_min=J_x=4(179+19,2 2,83²) = 1331см⁴.

Радиус инерции сечения

Приведенная гибкость

По таблице путем линейной интертополяции находим j¢₁ = 0,656. Видно, что коэффициенты j₁ и j¢₁ отличаются более, чем на 5%, поэтому во втором приближении задается.

Повторим расчет аналогично первому приближению

.

Из сортамента прокатной стали выбираем четыре уголка 90´90´9 мм

с А=15,6см², J_х=118см⁴, z₀=2,56см.

А=4×15,6=62,4см²;

J_min=4(118+15,6 2,56²)= 881см³’;

По таблице находим .

Определяем процент расхождения коэффициентов j₂ и j¢₂

.

Следовательно сечение состоящее из четырех уголков 90´90´9мм удовлетворяет условию устойчивости стержня.

Так как гибкость стержня больше предельной (l>l_пред для Ст.3 l_пред=100), то критическую силу определяем по формуле эйлера.

Коэффициент запаса устойчивости

Дата добавления: 2015-07-11