ПРИМЕР № 2

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ

ПРИМЕР № 1

Построить эпюры продольных сил, нормальных напряжений и перемещений поперечных сечений по длине ступенчатого бруса, нагруженного, как показано на рис.1,а. Материал бруса сталь

Ст. 3; Е=2,0 10¹¹Па

Рис.1

Решение. Разобьем брус на отдельные участки, начиная от свободного конца. Границами участков являются сечения, в которых приложены внешние силы, и место изменения размеров поперечного сечения. Таким образом, заданный брус имеет три участка.

При применении метода сечений, как известно, принципиально безразлично, равновесие какой из отсеченных (левой или правой) частей бруса рассматривать. В данном случае, применяя метод сечений, будем оставлять левую и отбрасывать правую отсеченную часть бруса, при этом отпадает надобность в предварительном определении реакции заделки.

Проведем произвольное сечение а-а на участке I и рассмотрим равновесие оставленной части, изображенной отдельно на рис. 1,б. Продольная сила в этом сечении N₁=F, эту силу находим, проектируя на ось z бруса внешние и внутренние силы, действующие на оставленную часть. Легко видеть, что тоже значение продольной силы сохраняется для любого сечения участка II, т.е.N₁=N_II=F

(для произвольного сечения b-b, проведенного на участке II, продольная сила определяется на основе рис.1,в). Проведя сечение на участке III, например с-с, и рассматривая равновесие левой отсеченной части, изображенной на рис.1,г, найдем:

N_Ш=F+2F=3F

После приобретения некоторого навыка в применении метода сечений можно не изображать отдельно отсеченную часть, а просто пользоваться соотношением

N=å F_iz

_о.ч

Заметим, что реакция заделки равна 3F. Таким образом, если определять значения продольных сил, оставляя каждый раз после проведения сечения правую часть бруса, конечно, получим те же результаты.

Построим график (эпюру), показывающий, как меняется N по длине бруса. Для этого, проведя ось абсцисс графика параллельно оси бруса, откладываем в произвольно выбранном масштабе значения продольных сил по оси ординат. Так как в пределах одного или даже двух смежных участков продольная сила не меняется, то эпюра ограничена прямыми, параллельными оси абсцисс. Полученный график принято штриховать, при этом штриховка должна быть перпендикулярна оси бруса. Каждая линия штриховки (ордината графика) в соответствующем масштабе выражает величину продольной силы в лежащем против нее поперечном сечении бруса (рис.1, ).

Эпюру нормальных напряжений (рис.1,е) получим, разделив значения N на соответствующие площади поперечных сечений бруса.

Эпюрой перемещений называется график, показывающий закон изменения величин перемещений поперечных сечений бруса по его длине.

Абсолютное (т.е. отсчитываемое от неподвижного сечения) перемещение D произвольного поперечного сечения равно изменению длинны части бруса, заключенной между рассматриваемым сечением и заделкой. Относительное перемещение двух поперечных сечений бруса равно изменению длинны части бруса, заключенной между этими сечениями.

Эпюру перемещений следует строить, начиная от защемленного конца. Перемещение произвольного сечения с-с, взятого в пределах участка III бруса, равно удлинению части бруса длиной z (см.рис.1,а).

Полученное выражение показывает, что перемещения возрастают (по мере удаления сечения от заделки) по линейному закону. Нетрудно убедиться, что при нагружении бруса сосредоточенными силами в пределах каждого участка эпюра перемещений будет линейной; поэтому для ее построения достаточно определить перемещения сечений, совпадающих с границами участков.

Перемещение сечения С (Dс) равно удлинению участка CD

N_III×a 180 10³ 1,0

Dс = Dl_CD= = = 0,75 10^-3м = 0,75мм

ЕА₂ 2,0 10¹¹ 12 10^-4

Перемещение сечения В относительно сечения С равно удлинению участка ВС

N_II×a 60 10³ 1,0

Dв-с = Dl_вс= = = 0,25 10^-3м = 0,25мм

ЕА₂ 2,0 10¹¹ 12 10^-4

Абсолютное перемещение сечения В равно перемещению сечения С плюс перемещение В относительно С

Dв=Dс+ Dв-с = 0,75+ 0,25 = 1,0мм

Перемещение сечения А относительно В равно удлинению участка АВ

N_I×2a 60 10³ 2,0

D_A-B Dl_AB= = = 1,2 10^-3м = 1,2мм

ЕА₁ 2,0 10¹¹ 5 10^-4

Абсолютное перемещение сечения А найдем, просуммировав величины Dв и D_A-B

D_A=Dв+ D_A-B = 1,0+ 1,2 = 2,2мм

Построенная по полученным данным эпюра перемещений показана не рис. 1,ж. На эпюре отмечены также относительные (взаимные) перемещения сечений, являющихся границами участков.

ПРИМЕР № 2

Абсолютно жесткий брус опирается на шарнирно-неподвижную опору и прикреплен к двум стержням при помощи шарниров.

Требуется подобрать диаметры этих стержней

Данные: а=2м; b=3м; c=1м; s_adm=160МПа; F=5c.

Рис.2

Решение. Для определения усилий в стержнях пользуемся методом сечений (см.рис.2а). Рассекаем первый и второй стержни и наносим усилия N₁ и N_2. Отбрасываем опору А, а ее влияние на систему заменяем реакциями R_А и Н_А.

Рассмотрим систему в равновесии, т.е. составим уравнения статики

å F_kx = 0 H_A+N₂ cos a= 0 (1)

å F_kx = 0 R_A+N₁-F+N₂ sin a= 0 (2)

åM_A = 0 N₁ a - F (a+c) + N₂ sin a (a+b+c) = 0 (3)

Заметим, что в эти уравнения входят четыре неизвестных: R_A; H_A; N₁ и N₂ , т.е. система является один раз статически неопределимой т.к. четыре неизвестных минус три уравнения равновесия равно единице.

Для раскрытия статической неопределимости системы (т.е. для составления недостающего уравнения) рассмотрим картину деформации всей системы (см.рис.2б). Под действием силы F первый и второй стержни будут сжиматься. Деформацией бруса Ae пренебрегаем. Левый конец бруса находится в шарнирно-неподвижной опоре. Точка В бруса переместится в точку В₁, а точка e - в точку e₁. Новым положением бруса является прямая Аe₁. Отрезок ВВ₁ представляет собой деформацию первогостержня. Чтобы найти деформацию второго стержня, нужно из нового положения этого стержня опустить перпендикуляр e₁К на его старое направление. Этот перпендикуляр отсечет отрезок eК, который и является деформацией второго стержня. Величины Dl₁ и Dl₂ свяжем из подобия треугольников АВВ₁ и Аee₁

Запишем соотношение

ВВ₁/АВ=ee₁/Аe, (4)

где ВВ₁=Dl₁; AB=a; Ae=a+b+c.

Отрезок ee₁ выразим из прямоугольного треугольника ee₁К

ee₁

Подставляем значения этих отрезков в выражение (4), получим:

. (5)

Имеем четвертое недостающее уравнение, которое называют уравнением совместности деформаций (перемещений), но оно пока в сжатом виде. Чтобы его развернуть, нужно деформации Dl₁ и Dl₂ расписать по известной формуле:

l₁=b; A₁=A;

; A₂=2A sin a=sin 45= .

Подставляем эти выражения в уравнение перемещений (5):

.

После сокращений и преобразований получим

N₁(a+b+c)=N₂×a.

Это и есть развернутое уравнение совместности деформаций. Решая совместно уравнения (3) и (6) найдем усилия в стержнях.

Из уравнения (6) получили:

.

Значение N₂ подставляем в уравнение (3):

10,75N₁=1500;

N₂=2,5N₁=2,5×139,5=348,75(кH).

Площади поперечного сечения стержней находим из условия прочности при растяжении и сжатии:

s= ;

;

.

Окончательно принимаем: A₁=10,9см²; А₂=21,8см².

Определяем диаметры стержней. Так как круглого поперечного сечения

Отсюда

.

Ответ: N₁=139,5 кН, N₂=348,75 кН,

А₁=8,7 см², А₂=21,8 см²,

d₁=3,72 см, d₂= 5,27 см.

А₁=8,7 см²,

d₁=3,72 см,

Дата добавления: 2015-07-11