Теплопроводность кристаллической решетки

В общих чертах механизм теплопроводности кристал­лической решетки давно известен, однако точный анализ явле­ния оказывается настолько сложным, что и сейчас возможны только довольно грубые оценки.

Для исследования процесса переноса тепла в решетке с ис­пользованием волновых представлений следует учесть, что тепловое движение атомов в кристалле представляет собой бес­порядочные колебания около положений равновесия. Поэтому для их описания необходимо ввести волновое поле, хаотически изменяющееся в каждой точке кристалла.

Поскольку температура определяет среднюю интенсивность (а также распределение энергии по частотам и другие характе­ристики) волнового процесса, то в случае, если тело нагрето не­однородно, плотность энергии волнового поля оказывается не­одинаковой в различных частях образца.

Так как бегущая волна несет энергию, казалось бы, нетрудно на волновом языке описать передачу энергии от более нагретых участков к менее нагретым, но это не так просто. Дело в том, что в среде с дисперсией скорость течения энергии не совпадает со скоростью распространения волн. Сложности рассмотрения этим не ограничиваются. Следует вычислить вклад отдельных монохроматических составляющих, учесть интерференцию волн и их рассеяние на дефектах решетки, а также и возможное взаимное рассеяние волн, если колебания атомов являются ан­гармоническими.

Значительно проще описание механизма теплопроводности с использованием понятия о фононном газе (при этом подходе слова «атомы», «решетка» могут быть забыты). Кристалл сле­дует рассматривать как объем, наполненный идеальным фононным газом.

Согласно распределению (0) у нагретой стенки будет боль­ше фононов с высокими энергиями, чем у холодной. При одина­ковой всюду концентрации фононов число этих квазичастиц, пересекающих в каждый момент выделенную плоскость слева направо и в обратном направлении, справа налево, одинаково. Вследствие разности температур по обе стороны плоской по­верхности средние энергии фононов в этих потоках различны, и поэтому возникает поток энергии в сторону более холодного га­за, от стенки с более высокой температурой к стенке с меньшей температурой.

Такой процесс возможен в любом газе. Поэтому нет необхо­димости заново вычислять коэффициент теплопроводности для фононного газа. Можно воспользоваться готовой формулой мо­лекулярно-кинетической теории:

где с — теплоемкость единицы объема (в данном случае это теп­лоемкость на единицу объема решетки), u, l — средняя ско­рость хаотического теплового движения и средняя длина сво­бодного пробега фононов соответственно.

Теплоемкость найдем из соотношения

где V — объем образца.

Чтобы найти среднюю скорость фононов u, требуется произ­вести двойное усреднение. Дело в том, что фонон, находящийся в квантовом состоянии с энергией ξ и квазиимпульсом р, не имеет определенной скорости движения. Для него можно ука­зать лишь среднее значение этой величины. Можно показать, что квантовое среднее <u> находится из соотношения

Далее модуль <u> усредняется по распределению (0): z

Как правило, в расчетах используется дебаевское приближение:

(ω= v_┴*q.или ω= v_║*q.): предполагается, что все фононы имеют одну и ту же ско­рость v, равную скорости звука в среде, т. е. u = v.

Наибольшие трудности связаны с расчетом длины свободно­го пробега. В молекулярно-кинетической теории для этой вели­чины имеется выражение l=1/nS [12]

где n - концентрация мишеней, т. е. частиц, с которыми мо­жет столкнуться движущаяся молекула, S — поперечное сече­ние мишени.

Если решетка не имеет дефектов, то препятствовать движе­нию фонона могут лишь другие фононы. Поэтому величину n в формуле (11) следует принимать равной концентрации фононного газа. Что касается S, то это будет некоторая эффектив­ная величина, характеризующая взаимодействие фононов друг с другом.

Формула для концентрации фононов:

[13]

Фазовый объем, приходящийся на все состояния фонона, ес­ли он движется в пределах объема V и модуль его импульса из­меняется в интервале от р до р + dp (все направления движения равновероятны), выражается формулой

[13]

Где θ – дебаевская температура. θ=ξ₀/k

Из анализа формулы (9.37), аналогичного анализу формулы (9.16), следует, что при Т >> θ, n ≈ T, а при Т << θ, n ≈ Т³.

Использованная литература:

1. А. С. Василевский. Физика твёрдого тела. Дрофа. 2010 г. 206 стр.

2. Павлов П.В., Хохлов А.Ф. Физика твердого тела. Учеб. - 3-е изд., М.,
2000 г. - 494.

3. А. С. Давыдов Теория твёрдого тела. — М: Наука, 1976 г. — 640 с.

4. Киттель Ч. Введение в физику твердого тела. М.: Наука, 1978. - 791 с.

Дата добавления: 2015-07-11