Тепловое расширение твердых тел.

При нагревании тела энергия сообщается как ядрам, так и электронам. Если при этом квантовое состояние электронной подсистемы кристалла не изменяется, то можно говорить только об увеличении колебательной энергии, которая равна сумме кинетической энергии ядер и энергии электронов ξ_n(R), которая при движении ядер играет роль потенциальной энер­гии. Будем использовать для ξ_n(R) обозначение U(R) и полагаем, что в узлах решетки на­ходятся целые атомы.

Максимальное значение U(R) равно полной энергии колеба­ний Е. Минимальное значение можно принять равным нулю (т. е. U(R₀) = 0). Отсюда видно, что при нагревании изменяются расстояния между атомами, т. е. нагрев приводит к тепловому расширению образца. Для численной оценки эффекта найдем среднее расстояние между атомами в одномерной цепочке, изо­браженной на рис. 3: .

Положения атомов задаются их смещениями ξ_i относительно положения равновесия (узла решетки). Можно считать, что ве­личины ξ_i изменяются беспорядочно, хаотически. Вероятность того, что эти параметры примут значения ξ_i задается канониче­ским распределением Гиббса. В нашем случае его мож­но записать в виде:

[10]

Где  

[11]

Допустим, что потенциальная энергия колебаний описыва­ется выражением

Это означает, что сила взаимодействия между соседними атома­ми не пропорциональна изменению расстояния между ними, а следует более сложному закону

Именно второй, ангармонический член в формуле для силы ответствен за удлинение образца.

Воспользовавшись распределением (10) и произведя ряд преобразований, получим z_n - среднее значение изменения расстояния между атомами:

Зная средние значения расстояний между атомами z_n в за­висимости от температуры T можно рассчитать коэффициент теплового расширения, который определяется соотношением:

Где l — длина образца. Расстояние d_n между п-м и (n - 1)-м атомами равно

Учитывая, что

Получаем  

Отсюда (при z_n << a) имеем:

Рис. 4.

Стоит заметить, что знак параметра а зависит от знака постоянной β: Если β > 0, то при нагревании тела расширяются (рис. 4, кривая 3). Если β < 0, то при увеличении температуры происхо­дит сжатие (кривая 2). Если взаимодействие соседних атомов подчиняется закону Гука, то β = 0 и α = 0, т. е. эффект теплового расширения—сжатия отсутствует (кривая 1).

Дата добавления: 2015-07-11