Основные понятия. Теоремы о взаимности работ и о взаимности перемещений имеют большое значение в

Теоремы о взаимности работ и о взаимности перемещений имеют большое значение в сопротивлении материалов и строительной механике при исследовании напряженного и деформированного состояния линейно-деформируемых систем.

Рассмотрим кратко формулировку этих теорем.

Рассмотрим два состояния упругой системы, находящейся в равновесии. В первом состоянии (1) на систему действует только сила Р₁, а во втором (2) только сила Р₂ (рис. 9).

(1)

(2)

Рис. 9

Перемещение упругой системы будем обозначать символом D_mn, где первый индекс m указывает направление перемещения, а второй n причину, вызвавшую его. Таким образом, D_mn – перемещение по направлению силы m, вызванное силой n.

Работу силы Р₁ на вызванном ею перемещении D₁₁ будем обозначать W₁₁, а работу силы Р₂ на вызванном ею перемещении D₂₂ – W₂₂.

При статическом действии сил Р₁ и Р₂ будем иметь:

; .

Рассмотрим теперь случай статического нагружения той же системы силами Р₁ и Р₂ (рис. 10) в следующей последовательности

Рис. 10

Сначала к системе прикладывается статически нарастающая сила Р₁. После того как процесс деформации системы от силы Р₁ закончится, к системе прикладывается также статически нарастающая сила Р₂.

Полная работа, совершенная силами Р₁ и Р₂, в процессе деформации будет состоять из 3-х частей.

1. Работа силы Р₁ на вызванном ею перемещении D₁₁

.

2. Работа силы Р₂ на вызванном ею перемещении D₂₂

.

3. Работа силы Р₁ на перемещении D₁₂, вызванном действием силы Р₂

.

Полная работа будет равна сумме этих работ

.

Если теперь упругую систему загрузить в обратном порядке, то есть если сначала приложить статически силу Р₂ и после окончания процесса деформации приложить статически силу Р₁, то совершенно аналогично найдем полную работу

.

Так как работа W зависит только от конечных значений сил и перемещений и не зависит от порядка нагружения, приравнивая правые части двух последних уравнений, получим

(8)

Такой же результат можно было получить, если бы в каждом из рассматриваемых состояний прикладывалась не одна сила, а любое число сил и моментов.

Таким образом, работа сил первого состояния на перемещениях по их направлению, вызванных силами второго состояния, равна работе сил второго состояния на перемещениях по их направлению, вызванных силами первого состояния. Этот вывод носит название теоремы о взаимности работ.

Перемещения в упругой системе, вызванные действием единичных сил, будем обозначать символом d в отличие от символа D, которым обозначались перемещения от действия сил, не равных единице. Индексы при d имеют тот же смысл, что и ранее.

Если теперь рассмотреть два состояния упругой системы, в которых к системам прикладываются единичные силы, то на основании теоремы о взаимности работ (8), полагая

, а ,

получим теорему о взаимности перемещений

(9)

Эту теорему можно сформулировать следующим образом. Для двух единичных состояний упругой системы перемещение по направлению первой единичной силы, вызванное второй единичной силой, равно перемещению по направлению второй силы, вызванному первой силой.

Дата добавления: 2015-07-11