Дифференциальное сечение

Отталкивающее рассеяние на точечной заряженной частице.

Установленная Резерфордом в 1911 году формула дифференциального сечения:

Все частицы проходящие через кольцо слева попадают в кольцо справа

Спектральные серии водорода

набор спектральных серий, составляющих спектр атома водорода. Поскольку водород — наиболее простой атом, его спектральные серии наиболее изучены. Они хорошо подчиняются формуле Ридберга:

,

где R = 109 677 см⁻¹ — постоянная Ридберга для водорода, — основной уровень серии. Спектральные линии возникающие при переходах на основной энергетический уровень называются резонансными, все остальные — субординатными.

Гипотеза де Бройля

высказал гипотезу о том, что установленный ранее для фотонов корпускулярно-волновой дуализм(принцип, согласно которому любой объект может проявлять как волновые, так и корпускулярные(невозможно расщепить) свойства). присущ всем частицам — электронам, протонам, атомам и так далее, причём количественные соотношения между волновыми и корпускулярными свойствами частиц те же, что и для фотонов. Таким образом, если частица имеет энергию и импульс, абсолютное значение которого равно , то с ней связана волна, частота которой и длина волны , где — постоянная Планка Эти волны и получили название волн де Бройля.

Для частиц не очень высокой энергии, движущихся со скоростью (скорости света), импульс равен (где — масса частицы), и . Следовательно, длина волны де Бройля тем меньше, чем больше масса частицы и её скорость

Поэтому волновые свойства несущественны в механике макроскопических тел. Для электронов же с энергиями от 1 эВ до 10 000 эВ длина волны де Бройля лежит в пределах от ~ 1 нм до 10⁻² нм, то есть в интервале длин волн рентгеновского излучения. Поэтому волновые свойства электронов должны проявляться, например, при их рассеянии на тех же кристаллах, на которых наблюдается дифракция рентгеновских лучей.

Опыты Дэвисона и Джермера

физический эксперимент по дифракции электронов

Проводилось исследование отражения электронов от монокристалла никеля. Установка включала в себя монокристалл никеля, сошлифованный под углом и установленный на держателе. На плоскость шлифа направлялся перпендикулярно пучок монохроматических электронов. Скорость электронов определялась напряжением на электронной пушке:

Под углом к падающему пучку электронов устанавливался цилиндр Фарадея, соединённый с чувствительным гальванометром. По показаниям гальванометра определялась интенсивность отражённого от кристалла электронного пучка. Вся установка находилась в вакууме.

В опытах измерялась интенсивность рассеянного кристаллом электронного пучка в зависимости от угла рассеяния от азимутального угла , от скорости электронов в пучке.

Опыты показали, что имеется ярко выраженная селективность (выборочность) рассеяния электронов. При различных значениях углов и скоростей, в отражённых лучах наблюдаются максимумы и минимумы интенсивности. Условие максимума:

Здесь — межплоскостное расстояние.

Таким образом наблюдалась дифракция электронов на кристаллической решётке монокристала. Опыт явился блестящим подтверждением существования у микрочастиц волновых свойств.

Опыт Бибермана

Н. Сушкиным и Леонидом Биберманом (1915–1998) был проведен опыт по дифракции отдельных электронов на щели. Поток электронов подбирался таким слабым, что за характерное время взаимодействия с щелью два электрона не могли оказаться на достаточно малом расстоянии, чтобы провзаимодействовать и друг с другом. Таким образом, все коллективные эффекты были подавлены.

Параметры эксперимента были следующими. Сначала электроны в электронной пушке ускорялись в потенциале , в результате чего приобретали кинетическую энергию , что составляет примерно восьмую часть энергии покоя электрона. Скорость электрона определяется тогда соотношением

Разогнанный до такой скорости электрон проходил через пластину с микроскопической щелью, после чего попадал на фотографическую пластину. Чтобы изображение дифракционной картины на последней стало заметным, эксперимент проводился в течение длительного времени.

Оценим вероятность нахождения одновременно двух электронов в пространстве между пушкой и фотопластинкой. Поток электронов измерялся с помощью амперметра и составлял

(единица измерения — частица в секунду). Расстояние от пушки до фотопластинки составляло , поэтому электроны пролетали его за время . Тогда искомая вероятность равна числу новых электронов, вылетевших из пушки за это время:

Несмотря на столь малую величину коллективных эффектов, электроны, после достаточного времени экспозиции фотопластинки образовывали на ней четкую дифракционную картину, согласовывающуюся по своим параметрам с гипотезой де Бройля. Это недвусмысленно говорило о том, что даже отдельный электрон ведет себя не как классический «шарик», а как квантовая частица с ярко выраженными волновыми свойствами. В частности, после прохождения через щель он попадает и в область геометрической тени, что запрещено для классических частиц.

Применительно к электрону можно сказать, что если щель имеет ширину , то для пролетевшего через нее электрона . С другой стороны, импульс связан с углом отклонения электрона от нормали:

поэтому из соотношения неопределенностей при малых мы получаем:

Таким образом, электрон, пролетевший через узкую щель, не может далее лететь в том же направлении со стопроцентной вероятностью. Это есть чисто квантовое явление, никаким образом не зависящее от характера взаимодействия со стенками щели. И именно оно приводит к тому, что электрон с ненулевой вероятностью попадает в область геометрической тени.

Тем не менее, все выкладки, сделанные выше, можно успешно проделать, считая электрон волной (а не «волной-частицей») и не вводя новых понятий. Оказывается, однако, что чисто волновая механика тоже имеет свои ограничения, и единственно верный путь — это не считать электрон ни волной, ни частицей. Но об этом — следующий раздел.

Уравнение Шрёдингера

описывает распространение волны вероятности нахождения частицы в заданной точке пространства. Пики этой волны (точки максимальной вероятности) показывают, в каком месте пространства скорее всего окажется частица. Хотя уравнение Шрёдингера относится к области высшей математики, оно настолько важно для понимания современной физики, что я его все-таки здесь приведу — в самой простой форме (так называемое «одномерное стационарное уравнение Шрёдингера»). Вышеупомянутая волновая функция распределения вероятности, обозначаемая греческой буквой ψ («пси»), является решением следующего дифференциального уравнения (ничего страшного, если оно вам не понятно; главное — примите на веру, что это уравнение свидетельствует о том, что вероятность ведёт себя как волна):

где x — расстояние, h — постоянная Планка, а m, E и U — соответственно масса, полная энергия и потенциальная энергия частицы. Картина квантовых событий, которую дает нам уравнение Шрёдингера, заключается в том, что электроны и другие элементарные частицы ведут себя подобно волнам на поверхности океана. С течением времени пик волны (соответствующий месту, в котором скорее всего будет находиться электрон) смещается в пространстве в соответствии с описывающим эту волну уравнением. То есть то, что мы традиционно считали частицей, в квантовом мире ведёт себя во многом подобно волне.

Суперпозиция состояний

это суперпозиция состояний, которые не могут быть реализованы одновременно с классической точки зрения, это суперпозиция альтернативных (взаимоисключающих) состояний. Принцип существования суперпозиций состояний обычно называется в контексте квантовой механики просто принципом суперпозиции.

Если функции и являются допустимыми волновыми функциями, описывающими состояние квантовой системы, то их линейная суперпозиция, , также описывает какое-то состояние данной системы. Если измерение какой-либо физической величины в состоянии приводит к определённому результату , а в состоянии — к результату , то измерение в состоянии приведёт к результату или с вероятностями и соответственно.

Из принципа суперпозиции также следует, что все уравнения на волновые функции (например, уравнение Шрёдингера) в квантовой механике должны быть линейными.

Любая наблюдаемая величина (например, положение, импульс или энергия частицы) является собственным значением эрмитова линейного оператора, соответствующим конкретному собственному состоянию этого оператора, то есть определённой волновой функции, действие оператора на которую сводится к умножению на число — собственное значение. Линейная комбинация двух волновых функций — собственных состояний оператора также будет описывать реально существующее физическое состояние системы. Однако для такой системы наблюдаемая величина уже не будет иметь конкретного значения, и в результате измерения будет получено одно из двух значений с вероятностями, определяемыми квадратами коэффициентов (амплитуд), с которыми базисные функции входят в линейную комбинацию. (Разумеется, волновая функция системы может быть линейной комбинацией и более чем двух базисных состояний, вплоть до бесконечного их количества).

Важными следствиями квантовой суперпозиции являются различные интерференционные эффекты (см. опыт Юнга, дифракционные методы), а для составных систем — зацепленные состояния.

Популярный пример парадоксального поведения квантовомеханических объектов с точки зрения макроскопического наблюдателя — кот Шрёдингера, который может представлять собой квантовую суперпозицию живого и мёртвого кота. Впрочем, достоверно ничего не известно о применимости принципа суперпозиции (как и квантовой механики вообще) к макроскопическим системам.

Частица в бесконечно глубокой трёхмерной потенциальной яме

Рассмотрим частицу, находящуюся в трехмерной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками (потенциальном ящике). Обозначим через внутреннюю область прямоугольного параллелепипеда (рис.4.6). В данной задаче потенциальная энергия частицы имеет вид

Вне потенциальной ямы волновая функция частицы . Внутри

ямы будем, так же как и в двумерном случае, искать волновую функцию в виде произведения

где функция зависит только от координаты , - зависит только от , - только от .

Используя тот же самый метод решения, что и для двумерной ямы, из уравнения Шредингера в трехмерном случае получаем три одномерных уравнения

где . Решение этих уравнений, обращающееся в нуль на границе области , т.е. на непроницаемых стенках потенциального ящика, определяет вид волновой функции частицы

(4.26)

и ее энергетический спектр

(4.27)

Здесь квантовые числа , и принимают значения . Отметим, что и волновая функция частицы, и ее энергия в случае трехмерной потенциальной ямы зависят от трех квантовых чисел.

Рассмотрим движение частицы в кубической потенциальной яме, т.е. будем считать, что . В этом случае энергетический спектр частицы имеет вид

(4.28)

Энергетические уровни в кубической яме, для которых , являются невырожденными, все остальные уровни вырождены

Результаты квантовой механики для гармонического осциллятора

Дата добавления: 2015-07-14