Стационарное уравнение Шрёдингера

Форма уравнения Шрёдингера показывает, что относительно времени его решение должно быть простым, поскольку время входит в это уравнение лишь через первую производную в правой части. Действительно, частное решение для специального случая, когда не является функцией времени, можно записать в виде:

где функция должна удовлетворять уравнению:

которое получается из уравнения Шрёдингера (1) при подстановке в него указанной выше формулы для (2). Заметим, что это уравнение вообще не содержит времени; в связи с этим оно называется стационарным уравнением Шрёдингера (уравнение Шрёдингера, не содержащее времени).

Выражение (2) является лишь частным решением зависящего от времени уравнения Шрёдингера (1), общее решение представляет собой линейную комбинацию всех частных решений вида (2). Зависимость функции от времени проста, но зависимость её от координаты не всегда имеет элементарный вид, так как уравнение (3) при одном выборе вида потенциальной функции совершенно отличается от того же уравнения при другом выборе этой функции. В действительности, уравнение (3) может быть решено аналитически лишь для небольшого числа частных типов функции .

Важное значение имеет интерпретация величины в уравнении (2). Она производится следующим путём: временна́я зависимость функции в уравнении (2) имеетэкспоненциальный характер, причём коэффициент при в показателе экспоненты выбран так, что правая часть уравнения (3) содержит просто постоянный множитель . В левой же части уравнения (3) функция умножается на потенциальную энергию . Следовательно, из соображений размерности вытекает, что величина должна иметь размерностьэнергии. Единственной величиной с размерностью энергии, которая постоянна в механике, является полная (сохраняющаяся) энергия системы; таким образом, можно предполагать, что представляет собой полную энергию. Согласно физической интерпретации уравнения Шрёдингера, действительно является полной энергией частицы при движении, описываемом функцией .

17. Волнова́я фу́нкция, или пси-функция — комплекснозначная функция, используемая в квантовой механике для описания чистого состояния системы. Является коэффициентом разложения вектора состояния по базису (обычно координатному):

где — координатный базисный вектор, а — волновая функция в координатном представлении.

Физический смысл волновой функции заключается в том, что согласно копенгагенской интерпретации квантовой механики плотность вероятностинахождения частицы в данной точке конфигурационного пространства в данный момент времени считается равной квадрату абсолютного значенияволновой функции этого состояния в координатном представлении.

В координатном представлении волновая функция зависит от координат (или обобщённых координат) системы. Физический смысл приписывается квадрату её модуля , который интерпретируется как плотность вероятности (для дискретных спектров — просто вероятность) обнаружить систему в положении, описываемом координатами в момент времени :

.

Тогда в заданном квантовом состоянии системы, описываемом волновой функцией , можно рассчитать вероятность того, что частица будет обнаружена в любой области конфигурационного пространства конечного объема : .

19. Атомное ядро́ — центральная часть атома, в которой сосредоточена основная его масса (более 99,9 %). Ядро заряжено положительно, заряд ядра определяет химический элемент, к которому относят атом. Размеры ядер различных атомов составляют несколько фемтометров, что в более чем в 10 тысяч раз меньше размеров самого атома.

Атомные ядра изучает ядерная физика.

Атомное ядро состоит из нуклонов — положительно заряженных протонов и нейтральных нейтронов, которые связаны между собой при помощисильного взаимодействия. Протон и нейтрон обладают собственным моментом количества движения (спином), равным ^{[сн 1]} и связанным с ним магнитным моментом.

Атомное ядро, рассматриваемое как класс частиц с определённым числом протонов и нейтронов, принято называть нуклидом.

20. Дефе́кт ма́ссы (англ. mass defect) — разность между суммой масс покоя нуклонов, составляющих ядро данного нуклида, и массой покояатомного ядра этого нуклида, выраженная в атомных единицах массы. Обозначается обычно .

Согласно соотношению Эйнштейна, энергия связи пропорциональна дефекту массы:

где — дефект массы и с — скорость света в вакууме.

Дефект массы характеризует устойчивость ядра.

Дефект массы, отнесённый к одному нуклону, называется упаковочным множителем.

Энергия связи ядра E_св(A,Z) это минимальная энергия, необходимая, чтобы развалить ядро на отдельные, составляющие его нуклоны.

Е_св(A, Z) = [Z m_p + (A - Z)m_n - M(A, Z)]c²,

где Z - число протонов, (A - Z) - число нейтронов, m_p - масса протона, m_n - масса нейтрона, М(A,Z) - масса ядра с массовым числом А и зарядом Z.
Энергия связи ядра, выраженная через массу атома M_ат, имеет вид:

Е_св(A, Z) = [Zm_H + (A - Z)m_n - M_ат(A, Z)]c²,

где m_H - масса атома водорода.

21. Радиоактивность — это испускание ядрами некоторых элементов различных частиц, сопровождающееся переходом ядра в другое состояние и изменением его параметров. Явление радиоактивности было открыто опытным путем французским ученым Анри Беккерелем в 1896 г. для солей урана. Беккерель заметил, что соли урана засвечивают завернутую во много слоев фотобумагу невидимым проникающим излучением.

Английский физик Э. Резерфорд исследовал радиоактивное излучение в электрических и магнитных полях и открыл три составляющие этого излучения, которые были названы а-, B-, у-излучением (рис. 54).



а-Распад представляет собой излучение а-частиц (ядер гелия) высоких энергий. При этом масса ядра уменьшается на 4 единицы, а заряд — на 2 единицы.

B-Распад — излучение электронов, заряд которых возрастает на единицу, массовое число не изменяется.

у-Излучение представляет собой испускание возбужденным ядром квантов света высокой частоты. Параметры ядра при у-излучении не меняются, ядро лишь переходит в состояние с меньшей энергией. Распавшееся ядро тоже радиоактивно, т. е. происходит цепочка последовательных радиоактивных превращений. Процесс распада всех радиоактивных элементов идет до свинца. Свинец — конечный продукт распада.

22. Закон радиоактивного распада — физический закон, описывающий зависимость интенсивности радиоактивного распада от времени и количества радиоактивных атомов в образце. Открыт Фредериком Содди и Эрнестом Резерфордом, каждый из которых впоследствии был награжден Нобелевской премией. Они обнаружили его экспериментальным путём и опубликовали в 1903 году в работах «Сравнительное изучение радиоактивности радия и тория»^[1] и «Радиоактивное превращение»^[2], сформулировав следующим образом^[3]:

Во всех случаях, когда отделяли один из радиоактивных продуктов и исследовали его активность независимо от радиоактивности вещества, из которого он образовался, было обнаружено, что активность при всех исследованиях уменьшается со временем по закону геометрической прогрессии.

из чего с помощью теоремы Бернулли учёные сделали вывод^{[источник не указан 521 день]}:

Скорость превращения всё время пропорциональна количеству систем, еще не подвергнувшихся превращению.

Существует несколько формулировок закона, например, в виде дифференциального уравнения:

которое означает, что число распадов −dN, произошедшее за короткий интервал времени dt, пропорционально числу атомов N в образце.

23. Я́дерная реа́кция — процесс образования новых ядер или частиц при столкновениях ядер или частиц. Впервые ядерную реакцию наблюдалРезерфорд в 1919 году, бомбардируя α-частицами ядра атомов азота, она была зафиксирована по появлению вторичных ионизирующих частиц, имеющих пробег в газе больше пробега α-частиц и идентифицированных как протоны. Впоследствии с помощью камеры Вильсона были получены фотографии этого процесса. По механизму взаимодействия ядерные реакции делятся на два вида:

· реакции с образованием составного ядра, это двухстадийный процесс, протекающий при не очень большой кинетической энергиисталкивающихся частиц (примерно до 10 МэВ).

· прямые ядерные реакции, проходящие за ядерное время, необходимое для того, чтобы частица пересекла ядро. Главным образом такой механизм проявляется при больших энергиях бомбардирующих частиц.

Если после столкновения сохраняются исходные ядра и частицы и не рождаются новые, то реакция является упругим рассеянием в поле ядерных сил, сопровождается только перераспределением кинетической энергии и импульса частицы и ядра-мишени и называется потенциальным рассеянием ^[1][2].

24.

где - сумма масс, соответственно, до и после реакции.

1. Закон сохранения электрического заряда.

2. Закон сохранения числа нуклонов.

3. Закон сохранения энергии.

4. Закон сохранения импульса.

5. Закон сохранения момента количества движения.

1. Из законов сохранения электрического заряда и числа нуклонов следует, что суммарный электрический заряд и и полное число нуклонов вступающих во взаимодействие должно сохраняться в результате ядерных реакций.

3 Законы сохранения энергии и импульса приводят к следующим соотношениям между импульсами и энергиями частиц до и после взаимодействия.

a + A = b + B

(cl.1)

E_a + E_A = E_b + E_B

Законы сохранения в ядерных реакциях В ядерных реакция, идущих при относительно небольших энергиях налетающих частиц (< 100 МэВ) выполняется ряд законов сохранения: 1. Закон сохранения электрического заряда. 2. Закон сохранения числа нуклонов. 3. Закон сохранения энергии. 4. Закон сохранения импульса. 5. Закон сохранения момента количества движения. Эти пять законов сохранения выполняются во всех типах реакций, идущих под действием ядерных электромагнитных и слабых взаимодействий. В реакциях идущих в результате ядерных и электромагнитных взаимодействий выполняются также:

• Закон сохранения пространственной четности.

В реакциях идущих в результате ядерных взаимодействий выполняется:

• Закон сохранения изотопического спина и его проекции.

Будем рассматривать двухчастичную ядерную реакцию. а + А B + b Законы сохранения позволяют, не рассматривая конкретного механизма ядерной реакции, дать ответ на вопрос, возможна ли данная ядерная реакция или нет. Действие законов сохранения накладывают определенные ограничения на возможности протекания ядерных реакций. Рассмотрим действие законов сохранения в ядерных реакциях. Законы сохранения электрического заряда и числа нуклонов Из законов сохранения электрического заряда и числа нуклонов следует, что суммарный электрический заряд и и полное число нуклонов вступающих во взаимодействие должно сохраняться в результате ядерных реакций. Используя законы сохранения электрического заряда и числа нуклонов можно определить неизвестный продукт реакции. Так, можно установить, что в ядерной реакции p + ⁷Li ⁴He + x неизвестным продуктом x является -частица. Z_нач = Z(p) + Z(⁷Li) = 1 + 3 = 4 = Z_кон = Z(⁴He) + Z(x) = 2 + Z(x) Z(x) = 2 A_нач = A(p)+A(⁷Li) = 1 + 7 = 8 = A_кон = A(⁴He) + A(x) = 4 + A(x) A(x) = 4 Законы сохранения энергии и импульса Законы сохранения энергии и импульса приводят к следующим соотношениям между импульсами и энергиями частиц до и после взаимодействия.

a + A = b + B

(cl.1)

Ea + EA = Eb + EB

(cl.2)

В соотношении (cl.2) E_a, E_A, E_b, E_B - полные энергии частиц

,

(cl.3)

,

(cl.4)

,

(cl.5)

.

(cl.6)

Кинетическая энергия частицы определяется соотношением

T = E - mc^2.

(cl.7)

Энергии реакции и порог реакции. Преобразуем соотношение (cl.2), используя (cl.7) и выделив кинетическую энергию и массу покоя

Ta + mac^2 + TA + mAc^2 = Tb + mbc^2 + TB + mBc^2,	(cl.8)
Ta + TA + = Tb + TB - Q.	(cl.9)

Здесь Q = m_ac² + m_Ac² - m_bc² - m_Bc² - энергия реакции.
Энергия реакции это кинетическая энергия выделяющаяся или поглощающаяся в процессе ядерной реакции; она равна разности энергий покоя частиц в начальном и конечном состояниях. Реакции с Q > 0 называются экзотермическими, они идут с выделением знергии при любой энергии налетающей частицы. Реакции с Q < 0 называются эндотермическими.. В реакциях упругого рассеяния Q = 0. Для того чтобы была возможна эндотермическая реакция, необходимо чтобы энергия налетающей частицы превышала некоторую величину T_пор, наываемую порогом реакции.
Порог реакции это минимальная кинетической энергии налетающей частицы в лабораторной системе координат, при котором возможна ядерная реакция.

(cl.21a)

или

(cl.21б)

где Q -энергия реакции, m_a - масса налетающей частицы, m_A - масса ядра мишени.
В нерелятивистском приближении (Q<< 2m_Ac²)

(cl.21в)

Отметим, что соотношения (cl.21б,в) справедливы и для реакций с любым количеством частиц в конечном состоянии.
Из соотношений (cl.21б-cl.21в) видно, что порог реакции не совпадает с энергией реакции. Из самого смысла величины Q видно, что Q есть порог ядерной реакции в системе центра инерции. Поэтому порог ядерной реакции T_пор всегда больше энергии реакции Q на величину энергии связанной с движением центра инерции в лабораторной системе координат.

---

Дата добавления: 2015-07-14