Теоретические сведения. Опр. Дифференциальное уравнение

^{ОПР. Дифференциальное уравнение}

⁽¹⁾

^{где коэффициенты – постоянные, называется линейным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами.}

^{Если f(x)≠0, то уравнение (1) называется неоднородным.}

^{Если f(x)=0, то уравнение (1) называется однородным.}

^{Теорема. Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения (1) равно сумме общего решения У соответствующего однородного уравнения (2) и частного решения и исходного неоднородного уравнения (1), т.е. у(х)= У+ и.}

^{I. РАССМОТРИМ ОДНОРОДНОЕ ЛИНЕЙНОЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ:}

⁽²⁾

^{Общим решением уравнения (1) является функция}

⁽³⁾

^{где –система линейно независимых решений.}

^{Функции называются линейно зависимыми в интервале , если существуют постоянные числа , не все равные нулю, такие что для любых . Если же указанное тождество выполняется только в случае, когда и , то функции называются линейно независимыми в интервале .}

^{Алгоритм нахождения общего решения однородного уравнения (1):}

^{1) составляют соответствующее ему характеристическое уравнение (заменяя в однородном уравнении производные от искомой функции на k в соответствующей степени, то есть на , на и на )}

^(4).

^{Полученное квадратное уравнение может иметь (в зависимости от дискриминанта ) два различных действительных решения, два совпадающих (кратный корень) действительных решения и пару комплексно-сопряженных решений;}

^{2) в зависимости от корней характеристического уравнения выделяются частные решения (соответствующие корням характеристического уравнения), образующие фундаментальную систему решений и записывается соответствующее общее решение (4).}

	^Корни характеристического уравнения	^Частные ^решения	^Общее решение однородного дифференциального уравнения
^I	^Два действительных и различных корня, т.е. ,
^II	^Два действительных и совпадающих корня, т.е.
^III	^Два комплексно сопряженных решения, т.е.

^{Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения}

^{a) , b) ,}

^{c) .}

^{Решение. Во всех трех случаях имеем однородные линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Общее решение найдем по приведенному выше алгоритму.}

^{Пример a.}

^{Составим характеристическое уравнение и решим его}

^{; ; .}

^{Характеристическое уравнение имеет два различных действительных решения, т.е. имеем первый случай. В соответствии с приведенной таблицей можно выписать систему решений данного уравнения}

^,

^{и получить общее решение исходного дифференциального уравнения}

^{Пример b.}

^{Составим характеристическое уравнение}

^{Не сложно заметить, что в правой части уравнения записан полный квадрат разности . Откуда получим .}

^{Характеристическое уравнение имеет два совпадающих действительных решения (или один действительный корень кратности два), т.е. имеем второй случай. В соответствии с приведенной таблицей можно выписать систему решений данного уравнения}

^,

^{и получить общее решение исходного дифференциального уравнения}

^{Пример c.}

^{Составим характеристическое уравнение и решим его}

^{; ;}

^.

^{Характеристическое уравнение имеет два комплексно сопряженных решения, т.е. имеем третий случай. В соответствии с приведенной таблицей можно выписать систему решений данного уравнения ,}

^{и получить общее решение исходного дифференциального уравнения}

^.

^{II. РАССМОТРИМ ТЕПЕРЬ РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНОГО НЕОДНОРОДНОГО УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ (1):}

^.

^{Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения (1) равно сумме общего решения У соответствующего однородного уравнения (2) и частного решения и исходного неоднородного уравнения (1), т.е. у(х)= У+ и.}

^{Общее решение У линейного однородного уравнения находим по алгоритму, приведенному выше.}

^{Далее необходимо найти частное решение неоднородного уравнения. В некоторых случаях вид частного решения устанавливается по правой части исходного неоднородного уравнения.}

^{Если правая часть дифференциального уравнения имеет вид}

^{где – многочлены степени n и m соответственно, а и b – некоторые постоянные числа, то частное решение неоднородного уравнения будет иметь следующую структуру:}

^{и =}

^{где – многочлены степени , записанные с неопределенными коэффициентами;}

^{r – равно числу корней характеристического уравнения (18), совпадающему с числом . Таким образом, , если среди корней характеристического уравнения нет числа ; , если существует один корень характеристического уравнения или , совпадающий с числом ; , если существует двукратный корень характеристического уравнения, совпадающий с числом .}

^{Зная структуру частного решения неоднородного уравнения, неизвестными которого являются только коэффициенты многочленов, подставим его вместе с производными в исходное уравнение и, приравнивая коэффициенты подобных членов слева и справа, получаем необходимое количество линейных алгебраических уравнений для вычисления этих неизвестных коэффициентов.}

^{Таким образом, для правой части специального вида общее решение дифференциального уравнения может быть легко найдено с помощью элементарных операций, таких как дифференцирование и решение линейных алгебраических уравнений, не прибегая к операции интегрирования, которая необходима в методе вариации произвольных постоянных.}

^{Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения.}

^{Решение . Имеем обыкновенное дифференциальное уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Общее решение исходного линейного неоднородного дифференциального уравнения имеет вид: у(х)= У+ и. или}

^.

^{где – общее решение соответствующего однородного уравнения,}

^{– частное решение исходного неоднородного уравнения.}

^{а) Найдем – общее решение соответствующего однородного уравнения, т.е. уравнения .}

^{Для этого составим характеристическое уравнение:}

^{Решая квадратное уравнение, получим корни характеристического уравнения , . Эти корни являются действительными и различными, поэтому фундаментальная система решений, соответствующая этим корням, будет иметь вид , . Следовательно, общее решение однородного уравнения определяется формулой:}

^.

^{б) Найдем – частное решение исходного неоднородного уравнения. Для этого рассмотрим правую часть исходного неоднородного уравнения}

^.

^{Правая часть исходного уравнения будет иметь специальный вид, если , , , т.е. , , т.е. . Так как правая часть имеет специальный вид, структура частного решения в общем случае будет иметь вид:}

^.

^{Так как и число , то . Так как и , то , т.е. , . Тогда структура частного решение исходного неоднородного уравнения с неопределенными коэффициентами будет иметь вид:}

^{Коэффициенты A и B определим методом неопределенных коэффициентов. Для этого найдем первую и вторую производные от частного решения}

^{Подставим найденные выражения в исходное уравнение:}

^{Разделим обе части на и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях переменной, т.е. при , и . Получим систему, из которой найдем коэффициенты и . Таким образом,}

^или

^{Решая систему двух линейных алгебраических уравнений с двумя переменными, получим , . Тогда частное решение}

^{Общее решение исходного неоднородного уравнения определяется формулой}

^{Таким образом,}

Дата добавления: 2015-07-14