Пример оформления задачи №5

Задача 1 Студенты некоторой группы, состоящей из 30 человек сдали экзамен по курсу «Высшая математика». Полученные студентами оценки образуют следующий ряд чисел:

Решение:

I. Составим вариационный ряд

x	mx	wx	mx^нак	wx^нак
		0,2		0,2
		0,37		0,57
		0,3		0,87
		0,13
Итого:			—	—

II. Графическое представление статистических сведений.

III. Числовые характеристики выборки.

1. Среднее арифметическое

2. Среднее геометрическое

3. Мода

4. Медиана

22222233333333 3 | 3 34444444445555

5. Выборочная дисперсия

6. Выборочное стандартное отклонение

7. Коэффициент вариации

8. Ассиметрия

9. Коэффициент ассиметрии

Задача 2. Даны результаты наблюдений некоторой случайной величины . Проверить гипотезу о ее нормальном распределении.

интервалы	3,5-4,5	4,5-5,5	5,5-6,5	6,5-7,5	7,5-8,5	8,5-9,5
число вариант

Решение. 1. Построим гистограмму относительных частот (рис. 4), данные для ее построения занесем в таблицу (, длина интервалов ).

	(4) 3,5-4,5	(5) 4,5-5,5	(6) 5,5-6,5	(7) 6,5-7,5	(8) 7,5-8,5	(9) 8,5-9,5
	0,075	0,1625	0,3125	0,2	0,1375	0,1125

3,5

4,5

5,5

6,5

9,5

8,5

7,5

Рис. 4

2. По виду гистограммы можно предположить, что наблюдаемая случайная величина имеет нормальное распределение - . Функция плотности вероятности нормального распределения имеет вид , где параметры и неизвестны.

В качестве значений параметров распределения возьмем их оценки, полученные на основе опытных данных. Оценкой параметра является величина

, (3)

оценкой параметра является величина

. (4)

В обеих формулах - середина -го интервала.

.

Итак, выдвигаем гипотезу о том, что изучаемая случайная величина имеет функцию плотности вероятности

(5)

Ее график построим на том же чертеже, что и гистограмму (рис. 4). Для построения достаточно найти точки максимума , и точки перегиба , . Затем эти точки следует соединить плавной линией, учитывая форму кривой нормального распределения. (рис. 4).

3. Зададимся уровнем значимости, например, . Для получения надежных выводов на основе критерия хи-квадрат нужно объединить первый интервал, содержащий мало наблюдений, со вторым интервалом. Тогда имеем всего интервалов. Определим , ( – число степеней свободы, – число неизвестных параметров). Итак, (прил. 1).

4. Вычислим . Для этого сначала вычислим вероятности, попадания исследуемой случайной величины в каждый интервал, согласно гипотезе. В случае нормального распределения они вычисляются по формуле: .

Тогда ,

,

где – функция Лапласа, значения которой приведены в прил. 2.

Аналогично , ,

.

Вычисления удобно вести, фиксируя промежуточные результаты в таблице.

	0,22	17,6	1,4	1,96	0,11
	0,26	20,8	4,2	17,64	0,85
	0,26	20,8	4,8	23,06	1,11
	0,16	12,8	1,8	3,24	0,25
	0,08	4,8	4,2	17,64	3,89

. Величина равна сумме значений в последнем столбце таблицы.

5. Сравним и : . Таким образом, при выбранном уровне значимости принадлежит критической области , а значит гипотезу о нормальном распределении следует отвергнуть. Следует отметить, что вероятность того, что мы ошибаемся, меньше 0,05.

Задача 3. Результаты наблюдений случайной величины представлены в виде статистического ряда.

					4 и более

Решение. 1. Построим полигон относительных частот - ломаную линию с вершинами в точках , рис. 5 (на рис. сплошная линия).

0,54

Рис. 5

2. По виду полигона частот можно выдвинуть предположение, что изучаемая случайная величина имеет пуассоновский закон распределения, т. е. Так как в законе Пуассона параметр равен математическому ожиданию, а его оценкой является величина , то

, ,

и изучаемая случайная величина имеет закон распределения

, (6)

где .

3. Зададимся уровнем значимости, например, . Последние 2 разряда, содержащие мало наблюдений (нужно 5-10), можно объединить. Определим , итак (прил. 1).

4. Вычислим . Для этого сначала вычислим вероятности для каждого из четырех интервалов: , , , .

Используя полученные вероятности, построим ломаную с вершинами в точках . На рис. 5 эта ломаная показана пунктирной линией. Вычисление оформляем в виде таблицы.

	0,5		54-50=4
	0,35		-8		1,83
	0,12				0,33
	0,03				1,33

Величина равна сумме величин в последнем столбце таблицы, т. е. =3,18.

5. Сравним и . =3,18< =5,99. Таким образом, в критическую область не входит. Делаем вывод: гипотеза опытным данным не противоречит.

Дата добавления: 2015-12-08