Важнейшие системы координат

Пространство, в котором мы живем, является трехмерным. Это означает, что положение точек в нем характеризуется тремя числами. Положение точек в двумерном пространстве характеризуется двумя числами. Какими именно числами - зависит от системы координат, с помощью которой описывается положение точек пространства и плоскости. Рассмотрим наиболее важные из них.

На плоскости:

• прямоугольная декартова система координат;
• полярная система координат.

В прямоугольной декартовой системе координат (рис. 1.1 a) двумя числами, характеризующими положение точки , являются длины и .

В полярной системе координат (рис. 1.1 б) двумя числами, характеризующими положение точки , являются длина и угол .

Следует отметить, что возможны две прямоугольные декартовы системы координат, которые никакими движениями в пространстве не могут быть совмещены друг с другом. Одна из них называется правой, другая - левой. Они различаются взаимной ориентацией осей. На (рис. 1.2 a) изображена правая система. В левой системе оси X и Y меняются местами. Практически в подавляющем большинстве случаев применяется правая система, как стандартная. Необходимо иметь в виду, что при переходе от правой системы к левой изменяются знаки в некоторых формулах.

В пространстве наиболее важными системами координат являются:

• прямоугольная декартова;
• цилиндрическая;
• сферическая.

В прямоугольной декартовой системе координат тремя числами, характеризующими положение точки, являются длины , и (рис. 1.2 a).

В цилиндрической системе координат тремя числами, характеризующими положение точки , являются длина , угол и длина z (рис. 1.2 б).

В сферической системе координат тремя числами, характеризующими положение точки , являются длина , углы и (рис. 1.2 в).

Числа, определяющие положение точки в некоторой системе координат, называются координатами точки.

Формулы, связывающие координаты точки в одной системе с ее координатами в другой, называют преобразованием координат.

Приведем формулы преобразования между цилиндрическими, сферическими и декартовыми координатами.
Преобразование от цилиндрических к декартовым прямоугольным

Преобразование от сферических к декартовым

Векторы

Многие физические величины характеризуются одним числом. Например, температура выражается числом градусов в определенной шкале. Такие величины называются скалярными.

Для характеристики других физических величин необходимо знать несколько чисел. Например, скорость определяется не только числовым значением, но и направлением, а сила характеризуется не только числовым значением и направлением, но и точкой приложения. Такие величины называются векторами.

Вектор изображается направленным отрезком, длина которого в некотором масштабе равна представляемой вектором величине, а стрелка показывает ее направление (рис. 1.3). Вектор обозначается буквой со стрелкой над ней - .

Математические определения вектора и векторных операций не связаны с понятием точки приложения вектора. Для векторных физических величин точка приложения вектора чрезвычайно важна.

1.6 Радиус – вектор

Положение точек пространства удобно характеризовать их радиус – векторами.

Если каждому значению скалярного аргумента поставить в соответствие вектор , то называется векторной функцией (радиус – вектором) скалярного аргумента..

Если начало вектора (радиус – вектора) поместить в постоянную точку O, то конец радиус вектора опишет пространственную кривую, которую называют годографом векторной функции (рис. 1.4) означает время, то описывает траекторию движения материальной точки. С помощью радиус – вектора положение точек описывается в бескоординатной форме.

Если радиус – вектор разложить по базисным векторам , , прямоугольной декартовой системы координат, то (рис. 1.5 a)

причем компоненты , , являются функциями от .

Не только радиус – вектор, но и любой вектор может быть представлен в виде суммы векторов, направленных вдоль осей декартовых координат (рис. 1.5 б)

Числа , , – проекции вектора на оси x, y, z. Для того, чтобы уметь вычислять проекции вектора и выражать все векторные операции в координатной форме, необходимо знать соотношение между векторами , , . Принимая во внимание, что эти векторы взаимно перпендикулярны и единичны, получаем

Дата добавления: 2015-12-08