Знакопеременные ряды. Теорема об абсолютной сходимостичислового ряда

Теорема 8.8. Числовой ряд сходится, если сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть ряд сходится. Тогда по свойству 1 сходящихся рядов также сходится ряд .

Так как , то по первому признаку сравнения рядов (теорема 8.2) также сходится ряд . На основании свойства 2 сходящихся рядов сходится разность двух рядов

, т. е. исходный ряд.

Ряд называется абсолютно сходящимся, если он сходится и сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов.

Ряд называется условно сходящимся, если он сходится, а ряд, составленный из абсолютных величин его членов, расходится.

Билет 9.

№1. Теорема Ролля: Если вещественная функция непрерывна на отрезке [a; b] и дифференцируема на интервале (a; b), принимает на концах этого интервала одинаковые значения, то на этом интервале найдётся хотя бы одна точка, в которой производная функции равна нулю. Если функция на отрезке постоянна, то утверждение очевидно, поскольку производная функции равна нулю в любой точке интервала. Если же нет, поскольку значения функции в граничных точках сегмента равны, то согласно теореме Вейерштрасса, она принимает своё наибольшее или наименьшее значение в некоторой точке интервала, то есть имеет в этой точке локальный экстремум, и по лемме Ферма, в этой точке производная равна 0. Геом. смысл: Теорема утверждает, что если ординаты обоих концов гладкой кривой равны, то на кривой найдется точка, в которой касательная к кривой параллельна оси абсцисс.

№2. Дифуры с раздел. Переменными и однородными ф-циями. Дифференциальное уравнение называется уравнением с разделяющимися переменными, если его правая часть представима в виде . Тогда, в случае , общим решением уравнения является

1.Обыкновенное уравнение первого порядка называется однородным относительно x и y, если функция f(x,y) является однородной степени 0:

Однородную функцию можно представить как функцию от y/x: f(x,y)=g(1,y/x)

Используем подстановку y/x = u, а затем воспользуемся правилом произведения: . Тогда, дифференциальное уравнение сводится к уравнению с разделяющимися переменными: .

2.Дифференциальное уравнение является однородным, если оно не содержит свободного члена — слагаемого, не зависящего от неизвестной функции. Так, можно говорить, что уравнение — однородно, если G(x)=0.

№3.Степенные ряды, теорема Абеля, радиус сходимости. Степенным рядом называется функциональный ряд вида где a₀, a₁, a₂, …,a_n,…, а также x₀ – постоянные числа. Точку x₀ называют центром степенного ряда.

Теорема Абеля.Если степенной ряд сходится при некотором , где -число, не равное нулю, то он сходится абсолютно при всех значениях x таких, что Наоборот, если ряд расходится при , то он расходится при всех значениях x таких, что Для каждого степенного ряда существует , удовлетворяющее свойствам: 1.Если R=0, то ряд сходится только при x=0. 2.Если , то ряд сходится при любых . 3.Если , то ряд сходится при и расходится при . Сходимость на любом отрезке внутри интервала(-R,R)равномерная. Число R - радиус сходимости степенного ряда.

Билет 10.

№1. Теорема Лагранжа о конечном приращении. Формула конечных приращений или теорема Лагра́нжа о среднем значении утверждает, что если функция f непрерывна на отрезке [a;b] и дифференцируема в интервале (a;b), то найдётся такая точка , что .

Геометрически это можно переформулировать так: на отрезке [a;b] найдётся точка, в которой касательная параллельна хорде, проходящей через точки графика, соответствующие концам отрезка.

Первое достаточное условие экстремума: Пусть функция y = f(x) дифференцируема в -окрестности точки , а в самой точке непрерывна. Тогда: если в точке функция непрерывна и в ней производная меняет знак с плюса на минус, то - точка максимума; если в точке функция непрерывна и в ней производная меняет знак с минуса на плюс, то - точка минимума. Второе условие экстремума: Пусть ,если , то - точка минимума; если , то - точка максимума.

№2.Определенный интеграл, Ньютон-Лейбниц, свойства определенных интегралов: Неопределенный интеграл равен , где С =const, F (x) – первообразная функция. При . Тогда . Отсюда . Свойство 1. Постоянный множитель можно выносить из-под знака определенного интеграла, т. е. ;Свойство 2. Интеграл суммы функций равен сумме интегралов этих функций, т. е. ; Свойство 3. При перестановке пределов интегрирования интеграл изменяет знак, т. е. .

№3. Функциональный ряд, равномерная сходимость, признак Вейерштрасса.Общий вид – , — n-ная частичная сумма. Ряд называется сходящимся равномерно, если последовательность его частичных сумм сходится равномерно.

Признак Вейерштрасса: Рассмотрим ряд . Пусть существует последовательность такая, что для любого выполняется неравенство . Пусть, кроме того, ряд сходится. Тогда ряд сходится на множестве Х абсолютно и равномерно. Для доказательства достаточно проверить справедливость критерия Коши.

Свойства равномерно сходящихся функциональных рядов: 1. Сумма S (x) равномерно сходящегося ряда в области Х, где u_n (x) (n = 1, 2, 3, …) - непрерывные функции, является непрерывной функцией в области Х. 2. Равномерно сходящийся ряд , где u_n (x) (n = 1, 2, 3, …) -непрерывные функции, можно почленно интегрировать, т.е. справедливо равенство

. 3. Если ряд, составленный из производных сходящегося ряда, сходится равномерно, то исходный ряд можно почленно дифференцировать.

Билет 11.

№1. Множества и т.д.: Множеством называется совокупность некоторых элементов. Элементами множества могут быть числа, фигуры, предметы, понятия и т. п. Множество может быть задано одним из двух способов: перечислением и с помощью определяющего свойства. - множество чисел. В общем случае множество элементов х с помощью определяющего свойства f(x) записывается в виде . Если множество не содержит ни одного элемента, то оно называется пустым множеством и записывается . Квантором называется логический символ, который характеризует следующие за ним элементы в количественном отношении. " - квантор общности, используется вместо слов «для всех, $ - квантор существования, используется вместо слов «существует». Операции над множествами: Два множества А и В равны,если они состоят из одних и тех же элементов. Объединением (суммой) множеств А и В называется множество А È В, элементы которого принадлежат хотя бы одному из этих множеств. Пересечением (произведением) множеств А и В называется множество А Ç В, элементы которого принадлежат как множеству А, так и множеству В.Разностью множеств А и В называется множество А \ В, элементы которого принадлежат множеству А, но не принадлежат множеству В.Симметрической разностью множеств А и В называется множество А Δ В, являющееся объединением разностей множеств А \ В и В \А, т. е. А Δ В = (А \ В) È (В \А). Свойства операций над множествами: 1. Свойство перестановочности (коммутативность) для объединения и пересечения множеств, т. е. А È В = В È А; А Ç В = В Ç А. 2. Сочетательное свойство (ассоциативность) для объединения и пересечения множеств, т. е. (А È В) È С= А È (В È С); (А Ç В) Ç С= АÇ (ВÇС). 3. Распределительное свойство (дистрибутивность) для объединения и пересечения множеств: 1) (А È В) Ç С= (А Ç С) È (В Ç С);

Декартово произведение множеств. Декартовым произведением множеств называется множество точек . Модуль числа, его свойства: По определению 1) ; 2) ; 3) или ; 4) . Грани числовых множеств: Число К называется верхней гранью множества А, если . Если С > 0, то К + С также является верхней гранью этого множества. Число k называется нижней гранью множества А, если . Если С > 0, то k - С также является нижней гранью этого множества. Счетные и несчетные множества: Для того, чтобы сравнить два каких-либо множества А и В, между их элементами устанавливают соответствие. Если это соответствие взаимнооднозначное, то множества называются эквивалентными или равномощными, А ~ В или А Û В. Последовательностью называется множество чисел, перенумерованных с помощью натуральных чисел и расставленных в порядке возрастания их номеров . Счетным множеством называется множество эквивалентное множеству натуральных чисел.

Дата добавления: 2015-12-07