Читайте также:
|
Имеются данные о продажах в упаковках препарата DH ВИТАЛОТОНИК РАСТВОР 500 ML N1 за 2008–2011 годы (табл. 1). Требуется на основе анализа структуры временного ряда построить аддитивную или мультипликативную модель, позволяющую дать прогноз продаж на первое полугодие 2012 года.
Таблица 1
Месячные продажи DH ВИТАЛОТОНИК РАСТВОР 500 ML N1 (в упаковках)
| Период - месяц | Продажи (в упаковках) | Период - месяц | Продажи (в упаковках) |
| 2008/01 Январь | 3 494 | 2010/01 Январь | 4 801 |
| 2008/02 Февраль | 3 568 | 2010/02 Февраль | 4 283 |
| 2008/03 Март | 4 048 | 2010/03 Март | 5 329 |
| 2008/04 Апрель | 2 770 | 2010/04 Апрель | 4 111 |
| 2008/05 Май | 2 600 | 2010/05 Май | 2 814 |
| 2008/06 Июнь | 1 686 | 2010/06 Июнь | 2 384 |
| 2008/07 Июль | 1 449 | 2010/07 Июль | 2 386 |
| 2008/08 Август | 2 522 | 2010/08 Август | 2 391 |
| 2008/09 Сентябрь | 2 920 | 2010/09 Сентябрь | 2 730 |
| 2008/10 Октябрь | 3 379 | 2010/10 Октябрь | 3 113 |
| 2008/11 Ноябрь | 3 055 | 2010/11 Ноябрь | 3 040 |
| 2008/12 Декабрь | 4 867 | 2010/12 Декабрь | 4 594 |
| 2009/01 Январь | 3 878 | 2011/01 Январь | 3 391 |
| 2009/02 Февраль | 3 590 | 2011/02 Февраль | 3 351 |
| 2009/03 Март | 3 897 | 2011/03 Март | 3 960 |
| 2009/04 Апрель | 2 457 | 2011/04 Апрель | 2 643 |
| 2009/05 Май | 2 115 | 2011/05 Май | 2 177 |
| 2009/06 Июнь | 2 259 | 2011/06 Июнь | 2 057 |
| 2009/07 Июль | 2 542 | 2011/07 Июль | 2 097 |
| 2009/08 Август | 2 247 | 2011/08 Август | 2 026 |
| 2009/09 Сентябрь | 2 547 | 2011/09 Сентябрь | 2 089 |
| 2009/10 Октябрь | 3 276 | 2011/10 Октябрь | 2 208 |
| 2009/11 Ноябрь | 2 742 | 2011/11 Ноябрь | 2 670 |
| 2009/12 Декабрь | 4 626 | 2011/12 Декабрь | 3 682 |
Построим точечную диаграмму на основе табл.1 и перейдем к рассмотрению квартальных продаж DH ВИТАЛОТОНИК РАСТВОР 500 ML N1 (табл. 2 и рис.2).
Рис.1. Месячные продажи DH ВИТАЛОТОНИК РАСТВОР 500 ML N1
Таблица 2
Продажи DH ВИТАЛОТОНИК РАСТВОР 500 ML N1 (в упаковках) за четыре года
| N квартала | ||||||||
| Продажи (в упаковках) | 11 110 | 7 056 | 6 891 | 11 301 | 11 365 | 6 831 | 7 336 | 10 644 |
| N квартала | ||||||||
| Продажи (в упаковках) | 14 413 | 9 309 | 7 507 | 10 747 | 10 702 | 6 877 | 6 212 | 8 560 |
Рис.2. Квартальные продажи DH ВИТАЛОТОНИК РАСТВОР 500 ML N1
Определим коэффициент автокорреляции первого порядка (табл. 3). Он составит: r1 = 0,125495327. Отметим, что расчет этого коэффициента производился по 15, а не по 16 парам наблюдений. Продолжив расчеты аналогичным образом, получим автокорреляционную функцию этого ряда. Ее значения и коррелограмма приведены на рис.3.
Таблица 3
Расчет коэффициента автокорреляции первого порядка для временного ряда продаж DH ВИТАЛОТОНИК РАСТВОР 500 ML N1, упаковок
| t | yt | yt-1 | yt – ӯ1 | yt-1 – ӯ2 | (yt – ӯ1)·(yt-1 – ӯ2) | (yt – ӯ1)2 | (yt-1 – ӯ2)2 |
| 11 110 | – | – | – | – | – | – | |
| 7 056 | 11 110 | -1 994,07 | 1 890 | -3 768 653,06 | 3 976 301,871 | 3 571 848,00 | |
| 6 891 | 7 056 | -2 159,07 | -2 164 | 4 672 364,20 | 4 661 568,871 | 4 683 184,54 | |
| 11 301 | 6 891 | 2 250,93 | -2 329 | -5 242 573,80 | 5 066 700,871 | 5 424 551,54 | |
| 11 365 | 11 301 | 2 314,93 | 2 081 | 4 817 221,94 | 5 358 916,338 | 4 330 283,54 | |
| 6 831 | 11 365 | -2 219,07 | 2 145 | -4 759 750,06 | 4 924 256,871 | 4 600 739,00 | |
| 7 336 | 6 831 | -1 714,07 | -2 389 | 4 095 019,54 | 2 938 024,538 | 5 707 639,54 | |
| 10 644 | 7 336 | 1 593,93 | -1 884 | -3 003 076,66 | 2 540 623,471 | 3 549 707,20 | |
| 14 413 | 10 644 | 5 362,93 | 1 424 | 7 636 459,54 | 28 761 053,938 | 2 027 586,14 | |
| 9 309 | 14 413 | 258,93 | 5 193 | 1 344 623,54 | 67 046,471 | 26 966 556,60 | |
| 7 507 | 9 309 | -1 543,07 | -137 230,06 | 2 381 054,738 | 7 909,14 | ||
| 10 747 | 7 507 | 1 696,93 | -1 713 | -2 906 959,93 | 2 879 582,738 | 2 934 597,40 | |
| 10 702 | 10 747 | 1 651,93 | 1 527 | 2 522 392,07 | 2 728 883,738 | 2 331 525,40 | |
| 6 877 | 10 702 | -2 173,07 | 1 482 | -3 220 339,93 | 4 722 218,738 | 2 196 126,40 | |
| 6 212 | 6 877 | -2 838,07 | -2 343 | 6 649 779,40 | 8 054 622,404 | 5 489 961,40 | |
| 8 560 | 6 212 | -490,07 | -3 008 | 1 474 153,20 | 240 165,338 | 9 048 465,07 | |
| Суммы | 135 751,00 | 138 301,00 | 0,00 | 0,00 | 10 173 429,93 | 79 301 020,933 | 82 870 680,93 |
| Средние | 9 050,07 | 9 220,07 |
Анализ значений автокорреляционной функции (рис. 3) позволяет сделать вывод о наличии в изучаемом временном ряде, во-первых, линейной тенденции, во-вторых, сезонных колебаний периодичностью в четыре квартала. Данный вывод подтверждается и графическим анализом структуры ряда (см. рис. 1 и 2).
| 
|
Рис.3. Коррелограмма временного ряда продаж DH ВИТАЛОТОНИК РАСТВОР 500 ML N1
Выше было показано, что данный временной ряд содержит сезонные колебания периодичностью 4. Объемы продаж в осенне-зимний период времени (I и IV кварталы) выше, чем весной и летом (II и III кварталы). По графику этого ряда (рис. 2) можно установить наличие приблизительно равной амплитуды колебаний. Это свидетельствует о возможном существовании в ряде аддитивной модели. Рассчитаем ее компоненты.
Шаг 1. Проведем выравнивание исходных уровней ряда методом скользящей средней. Для этого:
a) просуммируем уровни ряда последовательно за каждые четыре квартала со сдвигом на один момент времени и определим условные годовые объемы продаж препарата (гр. 3 табл. 4);
b) разделив полученные суммы на 4, найдем скользящие средние (гр. 4 табл.4). Отметим, что полученные таким образом выравненные значения уже не содержат сезонной компоненты;
Таблица 4
Расчет оценок сезонной компоненты в аддитивной модели
| N квартала | Продажи (упаковок), yt | Итого за четыре квартала | Скользящая средняя за четыре квартала | Центрированная скользящая средняя | Оценка сезонной компоненты |
| 4 (гр.3: 4) | 6 (гр.2 – гр.5) | ||||
| 11 110 | – | – | – | – | |
| 7 056 | 36 358 | 9 089,50 | – | – | |
| 6 891 | 36 613 | 9 153,25 | 9 121,38 | -2 230,38 | |
| 11 301 | 36 388 | 9 097,00 | 9 125,13 | 2 175,88 | |
| 11 365 | 36 833 | 9 208,25 | 9 152,63 | 2 212,38 | |
| 6 831 | 36 176 | 9 044,00 | 9 126,13 | -2 295,13 | |
| 7 336 | 39 224 | 9 806,00 | 9 425,00 | -2 089,00 | |
| 10 644 | 41 702 | 10 425,50 | 10 115,75 | 528,25 | |
| 14 413 | 41 873 | 10 468,25 | 10 446,88 | 3 966,13 | |
| 9 309 | 41 976 | 10 494,00 | 10 481,13 | -1 172,13 | |
| 7 507 | 38 265 | 9 566,25 | 10 030,13 | -2 523,13 | |
| 10 747 | 35 833 | 8 958,25 | 9 262,25 | 1 484,75 | |
| 10 702 | 34 538 | 8 634,50 | 8 796,38 | 1 905,63 | |
| 6 877 | 32 351 | 8 087,75 | 8 361,13 | -1 484,13 | |
| 6 212 | – | – | – | – | |
| 8 560 | – | – | – | – |
c) приведем эти значения в соответствие с фактическими моментами времени, для чего найдем средние значения из двух последовательных скользящих средних – центрированные скользящие средние (гр. 5 табл. 4).
Шаг 2. Найдем оценки сезонной компоненты как разность между фактическими уровнями ряда и центрированными скользящими средними (гр. 6 табл. 4). Используем эти оценки для расчета значений сезонной компоненты S (табл. 5). Для этого найдем средние за каждый квартал (по всем годам) оценки сезонной компоненты S. В моделях с сезонной компонентой обычно предполагается, что сезонные воздействия за период взаимопогашаются. В аддитивной модели это выражается в том, что сумма значений сезонной компоненты по всем кварталам должна быть равна нулю.
Для данной модели имеем: 2 694,708 – 1 650,458 – 2 280,833 + 1 396,292 = 159,708.
Определим корректирующий коэффициент: k = 159,708 / 4 = 39,927.
Таблица 5
Расчет значений сезонной компоненты в аддитивной модели
| Показатели | Год | № квартала, i | |||
| I | II | III | IV | ||
| – | – | -2 230,38 | 2 175,88 | ||
| 2 212,38 | -2 295,13 | -2 089,00 | 528,25 | ||
| 3 966,13 | -1 172,13 | -2 523,13 | 1 484,75 | ||
| 1 905,63 | -1 484,13 | – | – | ||
| Итого за i -й квартал (за все годы) | 8 084,125 | -4 951,375 | -6 842,500 | 4 188,875 | |
| Средняя оценка сезонной компоненты для i -го квартала, Ŝi | 2 694,708 | -1 650,458 | -2 280,833 | 1 396,292 | |
| Скорректированная сезонная компонента для i -го квартала, Si | 2 654,781 | -1 690,385 | -2 320,760 | 1 356,365 |
Рассчитаем скорректированные значения сезонной компоненты как разность между ее средней оценкой и корректирующим коэффициентом k: Si = Ŝi – k; где i = 1 ÷ 4.
Проверим условие равенства нулю суммы значений сезонной компоненты:
2 654,781 – 1 690,385 – 2 320,760 + 1 356,365 = 0.
Таким образом, получены следующие значения сезонной компоненты:
| I квартал: | S 1 = 2 654,781; |
| II квартал: | S 2 = -1 690,385; |
| III квартал: | S 3 = -2 320,760; |
| IV квартал: | S 4 = 1 356,365. |
Занесем полученные значения в табл. 5 для соответствующих кварталов каждого года (стр. 3).
Шаг 3. Элиминируем влияние сезонной компоненты, вычитая ее значение из каждого уровня исходного временного ряда. Получим величины Т + Е = Y – S (гр. 4 табл. 6). Эти значения рассчитываются за каждый момент времени и содержат только тенденцию и случайную компоненту.
Таблица 6
Расчет выравненных значений T и ошибок E в аддитивной модели
| t | yt | St | T + E = yt – St | T | T + S | E = yt – (T + S) | E 2 | (yt – ӯ)2 |
| 11 110 | 2 654,78 | 8 455,22 | 9 486,78 | 12 141,56 | -1 031,56 | 1 064 121,19 | 35 159 711,44 | |
| 7 056 | -1 690,39 | 8 746,39 | 9 445,72 | 7 755,33 | -699,33 | 489 067,11 | 2 381 877,78 | |
| 6 891 | -2 320,76 | 9 211,76 | 9 404,66 | 7 083,90 | -192,90 | 37 208,80 | 760 202,34 | |
| 11 301 | 1 356,36 | 9 944,64 | 9 363,59 | 10 719,96 | 581,04 | 337 609,42 | 20 321 688,34 | |
| 11 365 | 2 654,78 | 8 710,22 | 9 322,53 | 11 977,31 | -612,31 | 374 926,60 | 33 238 828,22 | |
| 6 831 | -1 690,39 | 8 521,39 | 9 281,47 | 7 591,08 | -760,08 | 577 726,67 | 1 901 870,84 | |
| 7 336 | -2 320,76 | 9 656,76 | 9 240,41 | 6 919,65 | 416,35 | 173 350,79 | 500 762,63 | |
| 10 644 | 1 356,36 | 9 287,64 | 9 199,34 | 10 555,71 | 88,29 | 7 795,42 | 18 867 802,09 | |
| 14 413 | 2 654,78 | 11 758,22 | 9 158,28 | 11 813,06 | 2 599,94 | 6 759 675,00 | 31 371 901,13 | |
| 9 309 | -1 690,39 | 10 999,39 | 9 117,22 | 7 426,83 | 1 882,17 | 3 542 551,36 | 1 475 820,03 | |
| 7 507 | -2 320,76 | 9 827,76 | 9 076,16 | 6 755,40 | 751,60 | 564 908,82 | 295 279,03 | |
| 10 747 | 1 356,36 | 9 390,64 | 9 035,09 | 10 391,46 | 355,54 | 126 409,88 | 17 467 871,96 | |
| 10 702 | 2 654,78 | 8 047,22 | 8 994,03 | 11 648,81 | -946,81 | 896 453,91 | 29 558 930,16 | |
| 6 877 | -1 690,39 | 8 567,39 | 8 952,97 | 7 262,58 | -385,58 | 148 674,51 | 1 103 725,34 | |
| 6 212 | -2 320,76 | 8 532,76 | 8 911,91 | 6 591,15 | -379,15 | 143 751,56 | 143 751,56 | |
| 8 560 | 1 356,36 | 7 203,64 | 8 870,84 | 10 227,21 | -1 667,21 | 2 779 583,63 | 16 121 897,96 | |
| СРЕДНИЕ | 9 178,81 | СУММЫ | 18 023 814,68 | 210 671 920,84 |
Шаг 4. Определим компоненту T данной модели. Для этого проведем аналитическое выравнивание ряда (Т + Е) с помощью функции «ЛИНЕЙН»:
Результаты аналитического выравнивания следующие:
| Константа | 9 527,84 |
| Коэффициент регрессии | -41,06 |
| Стандартная ошибка коэффициента регрессии | 61,53 |
| R-квадрат | 0,031 |
| Число наблюдений | |
| Число степеней свободы |
Таким образом, имеем следующий линейный тренд: T = 9 527,84 – 41,06· t.
Подставляя в это уравнение значения t = 1, …, 16, найдем уровни Т для каждого момента времени (гр. 5 табл.6). График уравнения тренда приведен на рис.4.
Шаг 5. Найдем значения уровней ряда, полученные по аддитивной модели. Для этого прибавим к уровням Т значения сезонной компоненты для соответствующих кварталов. Графически значения (Т + S) представлены на рис. 4.
Шаг 6. В соответствии с методикой построения аддитивной модели расчет ошибки производится по формуле Е – Y – (Т + S). Это абсолютная ошибка. Численные значения абсолютных ошибок приведены в гр.7 табл. 6.
Рис.4. Продажи в упаковках DH ВИТАЛОТОНИК РАСТВОР 500 ML N1 (фактические Y, выравненные T и полученные по аддитивной модели значения уровней ряда T + S)
По аналогии с моделью регрессии для оценки качества построения модели или для выбора наилучшей модели можно применять сумму квадратов полученных абсолютных ошибок. Для данной аддитивной модели сумма квадратов абсолютных ошибок равна 18 023 814,68. По отношению к общей сумме квадратов отклонений уровней ряда от его среднего уровня, равной 210 671 920,84, эта величина составляет чуть более 8,5%:
R2 = (1 – 18 023 814,68/210 671 920,84) 100 = 91,4%.
Следовательно, можно сказать, что аддитивная модель объясняет 91,4% общей вариации уровней временного ряда продаж препарата за последние 16 кварталов.
Прогнозирование по аддитивной модели. Дадим прогноз продаж препарата DH ВИТАЛОТОНИК РАСТВОР 500 ML N1 в течение первого полугодия 2012 года.
Прогнозное значение Ft уровня временного ряда в аддитивной модели есть сумма трендовой и сезонной компонент. Суммарные продажи препарата в течение первого полугодия 2012 года рассчитывается как сумма продаж препарата в I и во II кварталах 2012 года, соответственно F 17 и F 18. Для определения трендовой компоненты воспользуемся уравнением тренда T = 9 527,84 – 41,06 ·· t. Получим:
T 17 = 9 527,84 – 41,06 · 17 = 8 829,78;
T 18 = 9 527,84 – 41,06 · 18 = 8 788,72.
Значения сезонной компоненты равны: S 1 = 2 654,78 (I квартал); S 2 = -1 690,39 (II квартал). Таким образом,
F 17 = Т 17 + S 1 = 11 484,56;
F 18 = T 18 + S 2 = 7 098,33.
Прогноз объема потребления электроэнергии на первое полугодие 2012 года составит: (11 484,56 + 7 098,33) = 18 582,90 упаковок.
Дата добавления: 2015-12-08; просмотров: 85 | Нарушение авторских прав