Математическое ожидание какого-либо события равно абсолютной величине этого события, умноженной на вероят­ность его наступления.

Вероятность наступления события может быть определена объ­ективным или субъективным методом.

Объективный метод определения вероятности основан на вы­числении частоты, с которой происходит данное событие. Напри­мер, если известно, что при вложении капитала в какое-либо ме­роприятие прибыль в сумме 250 тыс. руб. была получена в 120 случаях из 200, то вероятность получения такой прибыли состав­ляет 0,6 (120.200).

Субъективный метод определения вероятности основан на ис­пользовании субъективных критериев, которые базируются на различных предположениях. К таким предположениям могут от­носиться: суждение и личный опыт оценивающего, оценка экс­перта, мнение финансового консультанта и т. п. Когда вероят­ность определяется субъективно, то разные люди могут устанав­ливать разное ее значение для одного и того же события и делать каждый свой выбор.

Величина риска (степень риска) измеряется двумя критериями:

1) среднее ожидаемое значение;

2) колеблемость (изменчивость) возможного результата.

Среднее ожидаемое значение — это то значение величины собы­тия, которое связано с неопределенной ситуацией. Среднее ожи­даемое значение является средневзвешенным для всех возможных результатов, где вероятность каждого результата используется в качестве частоты или веса соответствующего значения. Среднее ожидаемое значение измеряет результат, который мы ожидаем в среднем.

Средняя величина представляет собой обобщенную количест­венную характеристику и не позволяет принять решения в пользу какого-либо варианта вложения капитала.

Для окончательного принятия решения необходимо измерить колеблемость показателей, т. е. определить меру колеблемости возможного результата.

Колеблемость возможного результата представляет собой сте­пень отклонения ожидаемого значения от средней величины.

Для этого на практике обычно применяются два близко связан­ных критерия: дисперсия и среднее квадратическое отклонение. Дисперсия представляет собой средневзвешенное из квадратов отклонений действительных результатов от средних ожидаемых.

где ² —дисперсия;

х — ожидаемое значение для каждого случая наблюдения;

— среднее ожидаемое значение;

п — число случаев наблюдения (частота).

Среднее квадратическое отклонение определяется по формуле:

.

При равенстве частот имеем частный случай:

;

.

Среднее квадратическое отклонение является именованной ве­личиной и указывается в тех же единицах, в каких измеряется варьирующий признак. Дисперсия и среднее квадратическое от­клонение являются мерами абсолютной колеблемости.

Для анализа обычно используют коэффициент вариации. Он представляет собой отношение среднего квадратического откло­нения к средней арифметической и показывает степень отклоне­ния полученных значений.

,

где V — коэффициент вариации, %;

- среднее квадратическое отклонение;

— среднее ожидаемое значение.

Коэффициент вариации — относительная величина. Поэтому на размер этого коэффициента не оказывают влияние абсолютные значения изучаемого показателя. С его помощью можно сравни­вать даже колеблемость признаков, выраженных в разных едини­цах измерения. Коэффициент вариации может изменяться от 0 до 100%. Чем больше коэффициент, тем сильнее колеблемость. Установлена следующая качественная оценка различных значений коэффициента вариации:

до 10% - слабая колеблемость;

10 – 25% - умеренная колеблемость;

свыше 25% - высокая колеблемость.

3. Измерители риска. Количественная оценка риска операции возможна только при вероятностной характеристике множества исходов операции, т.е. исходам припишем вероятности и оценим каждый исход доходом, который получается при этом исходе. В результате получим величину Q, которая называется случайным доходом. Дискретная случайная величина выражается формулой Q = , где q_i – доход, а p_i – вероятность этого дохода.

Применим аппарат теории вероятностей и найдем следующие характеристики операций.

Средний ожидаемый доход – математическое ожидание

M[Q] = q₁p₁+…+q_np_n (обозначают еще m_Q) – для дискретных случайных величин; ()

- для непрерывной случайной величины (х – возможное значение этой величины, р(х) – вероятность).

В инвестиционном анализе и страховом деле риск часто измеряется с помощью таких стандартных статистических характеристик, как дисперсия и среднее квадратическое (стандартное) отклонение. Обе характеристики измеряют колебания, в данном случае – колебания дохода. Чем они больше, тем выше рассеяние показателей дохода вокруг средней и, следовательно, степень риска.

Дисперсия операции – дисперсия случайной величины D[Q] или σ

D = σ² = ,

где n – количество наблюдений, - средняя случайной переменной х.

Среднее квадратичное отклонение – становится все более признанной оценкой рискованности операции.

σ = = .

3. Понятие модели и моделирования. Виды моделирования: материальное и идеальное моделирование; физическое, аналоговое, знаковое, интуитивное моделирование

Слово «модель» ведет свое происхождение от латинского modulus, что означает мера, мерило, норма, образец.

Термин «модель» используется в различных областях человеческой деятельности и обычно означает или упрощенную картину реальности или прообраз будущего.

Модель – это своего рода абстрактное построение, промежуточное звено между теоретическим абстрактным мышлением и объективной действительностью. Качество модели, ее пригодность для познания мира, его явлений как и полезность использования зависит от способности модели отражать и воспроизводить предметы и явления объективного мира, их структуру, основные закономерности. Чем нагляднее в модели отражается реальность, чем точнее отображение, чем проще оно воспринимается – тем лучше модель для пользователя.

Модель воспроизводит изучаемый объект или процесс в упрощенном виде. Поэтому пред разработчиком модели всегда возникает две опасности, две крайности, образно сравнимые с покроем дамского платья.1 И слишком простая модель, и слишком сложная никому не нужны. Первая не может выразить суть оригинала, вторая непригодна для практического использования из-за своей сложности.

Классическим примером модели часто приводят глобус как модель земного шара. Земной шар – оригинал, глобус – его модель. Отражая объективную реальность, модель ее упрощает, отбрасывая все второстепенное и побочное. На школьном глобусе вы не находили г. Краснодара, своей станицы, реки Кубани, других степных рек – Кирпили, Кочеты, Ея, Сосыка. Однако это упрощение не может быть произвольным и грубым.

Главное требование, предъявляемое к модели – она должна адекватно отражать реальность. Отсутствие деталей на глобусе не мешает нам представить форму земного шара, расположение полюсов, материков, океанов, морей, крупнейших рек, частей света, экватора, меридианов и т.п., то есть всего того, что создает общее представление о планете, а ради этого и строилась данная модель.

Условия сходства и различия между моделью и оригиналом должны быть ясно сформулированы, точно определены и оговорены. Исследователь может строить модель, идя от живого созерцания, наблюдения, от практики, а может руководствоваться и другим принципом: от абстрактных теоретических соображений к конкретной действительности, то есть к реальности.

Разработка модели это важная ступень в создании теории, а с другой стороны – одновременно и одно из средств экспериментального исследования. Однако, как неоднократно подчеркивал академик В.С. Немчинов – никакая модель не может заменить строгой научной теории.

Метод моделирования объективных процессов давно используется в области естественных наук и верно послужил многим открытиям.

Научно обоснованное и удачное построение модели электромагнитного поля, модели атомного ядра, модели химического строения вещества – это примеры и важнейших вех в истории развития естествознания. Примеры важных экономико-математических исследований с помощью моделей, названных в первой главе, будут детально рассматриваться далее, так как они составляют содержание изучаемой науки.

В исследованиях модель замещает оригинал так, что ее изучение дает новые знания об объекте исследования. Термин «модель» в науке представляет собой искусственно созданную систему, которая отображает или способна воспроизводить основные стороны реальной системы, называемой оригиналом.

Под моделированием понимается исследование оригинала не непосредственно, а косвенным путем с помощью искусственно построенной системы, названной моделью. Моделирование включает процесс построения, изучения и применения моделей.

Прежде всего, необходимо ответить на вопрос: а зачем нужно моделирование? В каких случаях необходимо разрабатывать модель, а когда проводить прямое исследование оригинала? Прежде всего, отметим, что оригинал может оказаться недоступным для непосредственного исследования. Например: оригинал пока недосягаем – ядро Земли, глубины Вселенной; либо оригинал еще не существует – будущее экономики, параметры проектируемых новых предприятий. Иногда прямое исследование оригинала требует много времени или средств.

Необходимо иметь в виду, что модель всегда проще оригинала и исследование на ней обходится дешевле и требует меньше времени. Модель позволяет оперативно менять условия опыта (что не всегда возможно с оригиналом), дает возможность многократного повторения эксперимента до познания сущности. В модели оригинал можно представить в «чистом виде», не искаженным посторонними влияниями и ненужными деталями.

Процесс моделирования предполагает три элемента:

- субъект (исследователь);

- объект исследования, т.е. оригинал, о котором исследователь пытается получить новую информацию с помощью модели для управления;

- модель объекта исследования, опосредствующая отношения познающего и познаваемого объекта управления.

Моделирование базируется на умозаключении по аналогии, а аналогия, как известно, дает вероятностное знание. Его еще надо проверять на практике. Разрабатывая модель, нельзя упускать из вида, что даже самая совершенная модель лишь приблизительно отображает исследуемую систему, так как всегда огрубляет, упрощает ее. Модель и оригинал не тождественны, а только сходны в наиболее существенных чертах.

Модели, упрощающие оригинал и сохраняющие подобие лишь по существу, называются гоморфными. Подобие здесь однозначно лишь в одну сторону, так как по модели нельзя воспроизвести детали оригинала, хотя его основные свойства удается исследовать. В отличие от гоморфных изоморфные модели формально можно менять местами с оригиналом, так как между ними существует взаимооднозначное соответствие. Для решения практических задач не требуется гоморфные модели доводить до изоморфных, это не всегда возможно, а главное не нужно.

Моделирование является мощным орудием научного познания и решения практических задач, оно широко используется как в науке, так и во многих областях практической деятельности человека, прежде всего производстве, строительстве, медицине, военном деле, транспорте, связи, физкультуре и спорте.

Моделирование основывается на принципе аналогии, когда по свойствам модели судят и о свойствах изучаемого объекта, естественно речь идет не обо всех свойствах, тем более не о каждом свойстве, а только лишь о тех, которые аналогичны и в модели и в оригинале, и при этом значимы, важны для исследования, такие свойства называют существенными.

Различают подобие между оригиналом и моделью: физическое, структурное, функциональное, динамическое, вероятностное, геометрическое. На этом основывается и подобие моделей, и самих видов моделирования.

Физическое подобие – когда оригинал и модель имеют одинаковую физическую природу, например, сохраняют геометрическую форму, материал изготовления и другие физические свойства.

Структурное подобие – когда в модели сохраняется структура оригинала или они сходны, близки по структуре.

Функциональное подобие- это сходство с точки зрения возможности выполнения моделью и оригиналом одинаковых функций при соответствующих воздействиях.

Динамичное подобие – характеризуется сходством последовательно изменяющимися состояниями оригинала и модели.

Вероятностное подобие – характеризуется сходством вероятностных процессоров в оригинале и модели.

Геометрическое подобие – характеризуется пространственными параметрами оригинала и модели.

В настоящее время общепризнанной единой классификации моделей пока не существует, ведутся научные поиски, имеется обширная литература, предложено множество вариантов, представляющих практический интерес для пользователей.

Виды моделирования

Обычно под моделированием понимают исследование, процесс познания с помощью моделей. Моделирование является мощным орудием научного познания и решения практических задач, поэтому широко используется как в науке, так и во многих областях производственной деятельности человека.

По виду сходства модели и оригинала выделяют физическое, структурное, функциональное, динамическое, вероятностное, геометрическое их подобие. Классифицируют и сами виды моделирования.

Различают материальное и идеальное моделирование.

При материальном моделировании (иногда его называют предметным) исследование ведется на основе сохранения в модели геометрических, физических, динамических, функциональных свойств оригинала.

Из материальных видов моделирования можно отметить физическое и аналоговое моделирование.

При физическом моделировании в модели воспроизводится оригинал с сохранением геометрического сходства и физической природы, скажем материала. Таковы модели зданий, кораблей, самолетов, мостов. Здесь сходство оригинала и модели основано на теории подобия – развитой научной дисциплине.

Аналоговое моделирование основывается на аналогии явлений, имеющих различную физическую природу, но описываемых одинаковыми математическими формулами. Например: механические колебания можно исследовать и с помощью электрической системы, так как они описываются одними и теми же дифференциальными уравнениями.

Суть всех видов материального моделирования состоит в материальном отображении оригинала. Практически идет натурный эксперимент, и предметное моделирование по своей природе является экспериментальным методом.

Идеальное (мыслимое) моделирование принципиально отличается от материального. Оно имеет иную природу, так как основывается не на материальной аналогии оригинала и модели, а на идеальной, мыслимой аналогии.

Идеальное моделирование подразделяют на знаковое и интуитивное.

При знаковом моделировании моделями служат знаковые системы: схемы, чертежи, таблицы, формулы.

При интуитивном моделировании не используют четко фиксированных знаковых систем, оно протекает на уровне «мысленного эксперимента».

Важнейшим видом знакового моделирования является математическое моделирование.

При математическом моделировании в модели воспроизводятся основные взаимосвязи и закономерности оригинала в математической форме. Математическое моделирование в последнее время выделяется в самостоятельную теорию.

Отметим, что в течение долгого времени интуитивное моделирование оставалось главным и единственным методом исследований экономических процессов и систем. Проникновение в экономические исследования математических моделей создало основу для точного и строгого изучения экономических систем. Следует отметить, что широкое использование математических (знаковых) моделей не уменьшает роли интуитивного моделирования.

Исследование экономических процессов и систем с помощью математических моделей называют экономико-математическим моделированием. Экономико-математическая модель, по определению В.С. Немчинова, - есть концентрированное выражение общих взаимосвязей и закономерностей экономического явления в математической форме. Основным достоинством экономико-математического моделирования является то, что оно позволяет экспериментировать в экономике, не прибегая к прямому опыту над оригиналом. Это осуществляется с помощью оптимизационных моделей или имитационного моделирования.

Имитационное моделирование синтезирует интуитивное и математическое моделирование.

При моделировании очень сложных экономических систем математические модели получаются громоздкие и сложные, многокритериальные, так как отыскать один критерий выбора вариантов оказывается неосуществимым. Поэтому требуется неформальный анализ последствий каждого из вариантов принимаемого решения, что предопределяет участие экспертов и проведение исследования в диалоговом режиме имитационными методами. При имитационном моделировании перебираются все возможные варианты или их подмножества.

Под имитацией понимают изучение оригинала путем проведения экспериментов с реализованными на ЭВМ математическими моделями этих объектов.

Главная особенность имитационного исследования состоит в том, что эксперименты проводятся не с оригиналом, а с его моделями.

В принципе имитационная модель - это своего рода программа на ЭВМ, но это особая программа: она предназначена для наблюдения многовариантных расчетов, осуществляемых ЭВМ по такой программе, при различных задаваемых значениях экзогенных переменных.

Изменение значения управляющих переменных, или задавая различные значения параметрам можно получить ответ, без проведения эксперимента с оригиналом, то есть, по сути, эксперимент проводится на информационном уровне.

Имитационное моделирование, как и любое другое имеет циклический характер – от одного решения переходят к другому, постепенно задачу усложняют, изменяя входные данные. Практически приемлемое решение получают через несколько прогонов модели.

Билет 10.

Дата добавления: 2015-12-08