Понятие собственного числа и собственного вектора

· Собственное число

· Собственный вектор

Определение 3.1. Число l называется собственным числом (значением) квадратной матрицы A, если существует ненулевой столбец X такой, что

.

Определение 3.2. Если l - собственное число матрицы A, то всякий столбец X, удовлетворяющий условиям , называется собственным столбцом (вектором)матрицы A, соответствующим собственному числу l.

При условии, что вектор , получаем характеристическое уравнение для определения собственных значений l

. (3.1)

Координаты собственного вектора , соответствующие собственному значению , являются решением системы уравнений

(3. 2)

Определение собственных значений и собственных векторов матрицы

Схема	Пример
Определение собственных значений и собственных векторов матрицы
	Определить собственные значения и собственные векторы матрицы .
1. Составляем характеристическое уравнение для данной матрицы, воспользовавшись формулой (3.1).	Для этого составим определитель матрицы и от элементов, стоящих на главной диагонали вычтем : или
2. Решаем полученное уравнение.	. Его корнем, как легко проверить, будет . Разделим левую часть этого уравнения на двучлен l +2. Квадратное уравнение для определения остальных двух корней будет . Таким образом, матрица A имеет три собственных значения .
3. Определяем собственные вектора, соответствующие корням характеристичес-кого уравнения.	Собственный вектор , соответствующий , определяется из системы уравнений вида (3.2): Или Или как нетрудно заметить первое и третьи уравнения системы совпадают, значит, система может быть переписана в виде:
4. Выбираем базисные и свободные неизвестные и решаем полученную систему по одному из методов приденных в разделе 2.	Пусть - базисные неизвестные; - свободная неизвестная. Решая эту систему по формулам Крамера, находим   . Итак, система имеет решение   .
5. Необходимо придать одной неизвестной произвольные значение, получить решение исходной системы.	Придавая свободной неизвестной произвольные значения , получаем решения исходной системы в виде . Следовательно, первый собственный вектор .
6. Для нахождения собственного вектора, соответствующего второму собственному значению,вновь составляется система по формуле (3.2)	Второй собственный вектор , соответствующий собственному значению , определяется из системы уравнений вида:   Эта система сводится к системе     решение которой . Полагая , запишем ее решение в виде . Следовательно, второй собственный вектор есть   .
3. Третий вектор выписывается аналогичным образом.	Третий собственный вектор , соответствующий собственному значению , определяется из системы уравнений:   Эта система уравнений сводится к системе Решение этой системы . Полагая , запишем ее решение в виде . Следовательно, третий собственный вектор есть .

Замечание. Если в процессе решения получилась несовместная система, то допущена ошибка (неверно вычислен характеристический многочлен, найденное не является собственным значением или допущена ошибка в вычислении коэффициентов системы линейных уравнений или в процессе решения системы).

Дата добавления: 2015-12-07