Понятие системы. Решение систем уравнений методом Гаусса.

· Система

· Метод Гаусса

· Метод Крамера

Система трех линейных уравнений с тремя неизвестными x ₁, x ₂, x ₃ имеет вид

(2.1)

где - коэффициенты системы; - свободные члены.

Систему можно записать в матричной форме: , где

.

Тогда если определитель системы отличен от нуля, то решение системы имеет вид:

, (2.2)

где - обратная матрица.

Метод Гаусса (метод последовательного исключения неизвестных) позволяет решать систему линейных уравнений с неизвестными, то есть в таких системах, где число уравнений не равно числу неизвестных.

Метод Гаусса

Схема	Пример
Решение систем методом Гаусса
	Решить систему уравнений методом Гаусса:
1. Составляем расширенную матрицу системы и приводим ее к ступенчатому виду, проводя преобразования над строками, позволяющие получить эквивалентную систему (перестановка строк, умножение элементов строк на любое отличное от нуля число, прибавление или вычитание соответствующих элементов строк):
2. Выделить лидеров строк. Лидер строки - первый ненулевой элемент строки.
3. При необходимости меняем строки в расширенной матрице системы так, чтобы лидер в строке с наименьшим номером был равен 1. (Перестановка строк в расширенной матрице соответствует перестановке уравнений в системе, а, следовательно, при перестановке строк в матрице мы получим эквивалентную систему)	Переставим первое и третье уравнения системы:
4. Обнуляем лидеров строк, стоящих в строках с большим номером, воспользовавшись элементарными математическими преобразованиями –умножением строки на число, сложение и вычитание строк.	Для этого умножим первую строку на (-1) и складываем со второй строкой, затем необходимо первую строку умножить на (-2) и сложить с третьей строкой.
5. После обнуления, снова выделяем лидеров строк.
6. Снова обнуляем лидеров строк стоящих в строках с большим номером.	Умножим вторую строку на (-1/2) и сложим с третьей строкой
7.Привели матрицу к ступенчатому виду.
8. Восстанавливаем по приведенной матрице систему. При этом напомним, что третий столбец соответствует коэффициентам, стоящим при неизвестном , второй - при и первый -
9. Решаем полученную систему и находим неизвестные.

Определение 2.1. Определитель третьего порядка D, составленный из коэффициентов при неизвестных, называется определителем системы.

Определение 2.2. Если , то единственное решение системы (2.1) выражается формулами Крамера:

, (2.3)

где - определители третьего порядка, получаемые из определителя системы заменой 1, 2 или 3-го столбца соответственно свободными членами .

Тогда ее решение имеет вид

, (2.4)

если определитель системы отличен от нуля.

Метод Крамера

Дата добавления: 2015-12-07