Критерий Коши сходимости последовательности.

Читайте также:

Из определения сходимости последовательности к точке вытекает, что для любого интервалом длиной можно накрыть всю эту последовательность, исключая, может быть, конечное число ее элементов, если середину интервала поместить в точку . Справедливо и обратное: если последовательность такова, что для любого можно накрыть всю эту последовательность, исключая, может быть, конечное число ее элементов, поместив центр интервала в некоторую точку, то она сходится. Сформулируем это утверждение более точно. Последовательность назовем последовательностью Коши или фундаментальной, если (здесь центр интервала длиной помещен в точку , см. рис.).

Теорема (критерий Коши). Для того чтобы последовательность сходилась, необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной.

Доказательство.

Необходимость (метод ). Пусть при . Тогда для любого существует номер такой,что для любых выполняются неравенства . Рассмотрим цепочку соотношений

что означает, что фундаментальна.

Достаточность. Докажем сначала ограниченность последовательности . Возьмем , тогда, в силу фундаментальности , найдется номер такой, что для всех выполняется . Следовательно, , поэтому . Итак, для всех при фиксированном выполняется , что означает ограниченность последовательности (следует из замечания: последовательность будет ограниченной, если ее можно накрыть отрезком , начиная с некоторого номера ). По теореме Больцано-Вейерштрасса об ограниченных последовательностях из последовательности можно выделить подпоследовательность , сходящуюся к некоторому числу . Докажем, что и вся последовательность сходится к числу . Возьмем любое , тогда найдется номер (из фундаментальности ) такой, что для всех выполняется . Ввиду сходимости при , по взятому найдется номер такой, что и . Тогда для нашего