Теорема Кронекера – Капеллі

Неоднорідна система лінійних рівнянь сумісна тоді і тільки тоді, коли ранг матриці коефіцієнтів дорівнює рангу розширеної матриці , тобто . Якщо через позначити порядок системи (кількість невідомих), то:

а) – система визначена, має єдиний розв’язок;

б) – система невизначена, має безліч розв’язків.

При цьому базисних невідомих буде , а вільних невідомих . За базисні невідомі приймаються довільні, але щоб визначник коефіцієнтів при базисних невідомих не дорівнював нулю.

Тоді загальний розв’язок невизначеної системи – це коли базисні невідомі виражені через вільні невідомі та праву частину системи.

Базис лінійного простору розв’язків однорідної СЛАР називають фундаментальною сукупністю розв’язків (ФСР).

Для неоднорідної системи її загальний розв’язок може бути представлений як сума загального розв’язку відповідної однорідної системи і довільного частинного розв’язку неоднорідної системи.

Завдання № 3. Знайти фундаментальну систему розв’язків СЛАР:

Виписуємо розширену матрицю системи:

поміняємо місцями рядки ~ ~ ~ . Очевидно, що ; порядок системи .

Приймаємо за базисні невідомі , тоді – вільна невідома. Остання матриця відповідає системі рівнянь:

З останнього рівняння знаходимо підставляємо у друге рівняння . Підставляємо та в перше рівняння, знайдемо :

.

Знайдені значення підставляємо у матрицю :

або замінюючи на довільну сталу , фундаментальну сукупність розв’язків (ФСР) наведемо у вигляді:

де перший додаток це частинний розв’язок неоднорідної вихідної системи, а другий – це загальний розв’язок відповідної однорідної системи.

Завдання № 4. Дослідити СЛАР і, якщо можливо розв’язати її.

Виписуємо розширену матрицю системи:

~ ~ ~ порядок системи (кількість невідомих).

Приймаємо за базисні невідомі , тоді – вільна невідома. Остання матриця відповідає системі рівнянь: .

З останнього рівняння знаходимо підставляємо у друге рівняння

. Знайдені значення і підставляємо у матрицю Х:

Замінюючи на довільну сталу , одержуємо ФСР у вигляді:

.

Дата добавления: 2015-11-26