Теорема Больцано-Вейерштрасса об ограниченных последовательностях.

Пусть задана произвольная последовательность действительных чисел Последовательность ,где называется подпоследовательностью последовательности . Таких подпоследовательностей из заданной последовательности можно выделить бесконечно много.

Пример. Последовательность есть подпоследовательность последовательности

Очевидно, имеет место Теорема. Если последовательность сходится к некоторому пределу, то и любая ее подпоследовательность сходится к этому же пределу.

Пример. Последовательность расходится, так как две ее подпоследовательности и сходятся к разным числам.

Выделение подпоследовательностей у последовательности , сходящихся к разным числам, есть один из методов доказательства ее расходимости. Ответ на вопрос: "Во всякой ли последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность'', дает следующая фундаментальная теорема.

Теорема(Больцано - Вейерштрасса). Из всякой ограниченной последовательности можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к некоторому действительному числу.

Доказательство (метод Больцано). Так как последовательность ограничена, то существует число такое, что . Разделим отрезок на два равных отрезка и обозначим через какой-нибудь из них, содержащий бесконечно много элементов из , пусть . Далее разделим отрезок на два равных отрезка и обозначим через какой-нибудь из них, содержащий бесконечно много элементов из . Тогда найдется элемент и . Процесс деления отрезка пополам, выбора одной из половин отрезка и элемента в ней продолжим по индукции. Итак, построена система вложенных отрезков и последовательность такая, что для любого выполняется и . Тогда по теореме Кантора о вложенных отрезках существует единственная точка , принадлежащая всем отрезкам, и . Переходя к пределу по в неравенствах , получим .

Дата добавления: 2015-12-07