Теорема 1.1 Эквивалентные матрицы имеют равные ранги.

Итак, если A ̴ B, то .

Это означает, что элементарные преобразования матрицы не меняют ее ранг.

С помощью элементарных преобразований матрица может быть преобразована в матрицу специального вида, ранг которой легко определяется. Это так называемая ступенчатая матрица вида:

, где ,

. Рассмотрим угловой минор порядка отличный от нуля: , так как все . Все миноры более высокого порядка и т. д. будут равны нулю, так как содержат хотя бы одну нулевую строку. Следовательно, ранг ступенчатой матрицы равен , т.е. числу ненулевых строк. Фактически, мы доказали теорему, которую сформулируем ниже.

Теорема 1.2 Ранг ступенчатой матрицы равен числу ненулевых строк.

Правило: Чтобы найти ранг произвольной матрицы необходимо с помощью элементарных преобразований привести ее к ступенчатому виду и подсчитать число ненулевых строк в полученной ступенчатой матрице.

Пример. С помощью элементарных преобразованийнайти ранг матрицы

.

Решение. Преобразуем матрицу к ступенчатому виду. Для этого будем получать «0» ниже элементов, стоящих на главной диагонали с помощью элементарных преобразований. Запись будем вести в виде цепочки эквивалентных матриц.

Поменяем местами первую и вторую строчку, так чтобы , а третью строчку разделим на число 5.

̴ ̴ ̴ .

Чтобы получить «0» во второй позиции первого столбца, умножим первую строку на (-2) и прибавим ко второй строке.

Это преобразование запишем числом (-2) против первой строки и обозначим стрелкой, идущей от первой строки ко второй строке.

Для получения «0» в третьей позиции первого столбца, умножим первую строку на (-1) и прибавим к третьей строке; покажем это действие с помощью стрелки, идущей от первой строки к третьей.

В полученной матрице, записанной третьей в цепочке матриц, получим «0» во втором столбце в третьей позиции. Для этого умножили вторую строку на (-2) и прибавили к третьей. Вторую строку при этом умножим на (-1).

Последняя полученная матрица – ступенчатая. Вычеркнем последнюю нулевую строчку, останется две ненулевые строчки.

Следовательно, .

---

Дата добавления: 2015-11-26