Изучение законов вращательного движения с помощью маятника Обербека

Федеральное агентство по образованию Российской Федерации

Филиал «Севмашвтуз» государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Санкт – Петербургский государственный морской технический университет»

В г. Северодвинске

ФАКУЛЬТЕТ: IV

КАФЕДРА: ФИЗИКИ

Лабораторная работа

ИЗУЧЕНИЕ ЗАКОНОВ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ

С ПОМОЩЬЮ МАЯТНИКА ОБЕРБЕКА

Северодвинск

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА ФМ - 14

Изучение законов вращательного движения с помощью маятника Обербека

Цель работы

1. Изучить теорию вращательного движения твёрдого тела вокруг неподвижной оси.

2. Определить момент инерции системы тел.

3. Исследовать зависимость углового ускорения от величины момента приложенных сил с учётом сил трения.

4. Оценить абсолютную и относительную погрешности лабораторной работы.

1. Основные теоретические положения

При вращении твердого тела вокруг неподвижной оси все его точки движутся по окружностям, центры которых лежат на одной прямой, называемой осью вращения. Окружности, по которым движутся точки тела, лежат в плоскостях, перпендикулярных вращения.

Угловой скоростью равномерного вращательного движения тела называется отношение угла поворота Dj на промежуток времени D t, за которое произошел поворот:

. (1)

В случае неравномерного вращательного движения, выражение (1) дает среднее значение угловой скорости за промежуток времени D t.

Мгновенное значение угловой скорости определяется выражением:

. (2)

Угловая скорость w величина векторная, ее модуль определяется формулой (2). Вектор угловой скорости направлен вдоль оси вращения так, что его направление и направление вращения образуют правовинтовую систему: если смотреть вслед вектору , то вращение представляется по часовой стрелке (рис. 1).

В системе СИ единицей измерения угловой скорости w является радиан в секунду, т.е. [w] = рад/с.

Изменение угловой скорости в единицу времени характеризуется векторной величиной, которая называется угловым ускорением . Угловое ускорение определяется формулой

.

В системе СИ угловое ускорение измеряется в радианах на секунду в квадрате, т.е. [e] = рад/с².

Если направление оси вращения в пространстве не изменяется, то вектор может изменяться только по модулю. В этом случае векторы и коллинеарные, причем направлены в одну и ту же сторону, если вращение ускоренное, и в противоположные стороны, если вращение замедленное (рис. 2, а, б).

а) ускоренное вращение б) замедленное вращение

Рис. 2

Угловая скорость и угловое ускорение для всех точек тела одинаковы в данный момент времени, однако для различных точек тела линейные скорости движения по окружности разные, так как зависят от расстояния R точки до оси вращения. Как следует из рис. 1, точка тела, отстоящая от оси вращения на расстоянии R, при повороте тела на угол Δφ проходит путь Δ S = R Δφ, тогда связь модулей линейной и угловой скоростей может быть представлена в виде:

.

Из рис. 3 следует связь радиус-вектора , проведённым из произвольной точки О на оси вращения в рассматриваемую точку тела, с расстоянием R от неё до оси вращения: R = r sinβ. Линейная скорость любой точки вращающегося твёрдого тела определяется векторным произведением на :

, или по модулю = ω R.

В неравномерном вращательном движении каждая точка тела имеет нормальное ускорение , характеризующее быстроту изменения вектора линейной скорости по направлению, и тангенциальное ускорение

,

характеризующее быстроту изменения модуля скорости.

Векторы и перпендикулярны друг к другу, поэтому модуль полного ускорения а равен:

.

На рис. 4 изображено тело, вращающееся вокруг неподвижной оси ОО' под действием внешних сил. Мысленно разобьем тело на элементарные объемы массой m_i, каждый из которых представляет собой материальную точку.

Сила – равнодействующая внешних и внутренних сил, приложенных к i -му элементарному объему телу, создаёт относительно произвольно взятой точки на оси вращения моментсилы , определяемый векторным произведением радиуса-вектора i – ой точки на вектор силы :

= [ ].

l_i

Сила раскладывается на составляющую , перпендикулярную оси вращения ОО', силу параллельную оси вращения, а также силу , вектор которой направлен по касательной к траектории движения рассматриваемой материальной точки. При движении точки массой m_i ускорение ей сообщает только сила .

Величина называется моментом силы , действующей на материальную точку массой m_i, относительно ее оси вращения ОО'. Здесь l_i – плечо силы, т.е. кратчайшее расстояние от линии действия силы до оси. Единицей измерения момента силы служит ньютон на метр, т. е. [ M_i ] = Н·м. Так как F_i^τ = F_i^τ _внутр + F_i^τ _внеш, то и M_i = M_{i внутр} + M_{i внеш}, но внутренние силы, действующие между элементарными массами внутри тела, попарно компенсируют друг друга и создают результирующий момент M_{i внутр}= 0. Тогда M_i = M_i ^внеш.

Величина I_i = m_ir_i ² называется моментом инерции материальной точки.

Величина I = = – момент инерции всего тела; он равен сумме моментов инерции всех материальных точек, составляющих тело.

В системе СИ момент инерции измеряется в кг·м², т.е. [ I ] = кг·м². Момент инерции тела I = Σ m_ir_i ² является мерой инертности тела во вращательном движении и, как видно из этого выражения, зависит не только от величины, но и от характера распределения массы тела относительно оси вращения. Так для обруча с осью вращения, проходящей через его центр перпендикулярно плоскости обруча, момент инерции I = mr ², а для шара с осью проходящей через его центр I = (2/5) mr ², где r - радиус обруча или шара.

Если известны момент инерции тела относительно оси ОО', проходящей через его центр масс т. C, то момент инерции тела относительно произвольной оси KK', параллельной данной ОО', можно вычислить по теореме Штейнера:

I _KK’ = I _OO’ + ma ²,

где а - расстояние между осями (рис. 5); m - масса тела.

Момент инерции есть величина аддитивная, т.е. момент инерции системы тел равен алгебраической сумме моментов инерции составляющих ее тел.

По 2-му закону Ньютона

.

В проекции на ось z

,

где а_t - тангенциальное ускорение материальной точки массой m_i, и используя понятие момента силы, можно записать

M_i = M_i ^внеш = F_i^τ = m_ir_ia_τ = m_ir_ir_i e = m_ir_i ²e = I_i e,

т.е.

M_i ^внеш = I_i e.

Суммируя последнее выражение по всем точкам тела, получим выражение для момента внешних сил, приложенных ко всему телу

,

или . (3)

Формула (3) выражает собой 2-ой закон Ньютона для вращательного движения, т.е. во вращательном движении роль силы выполняет момент силы, роль массы - момент инерции, а роль ускорения - угловое ускорение.

Величина называется моментом импульса (моментом количества движения) материальной точки относительно оси перпендикулярной направлению ее движения, где р_i – величина импульса материальной точки массой m_i, а r_i - плечо импульса (кратчайшее расстояние от прямой, вдоль которой направлен вектор , до оси z).

В системе СИ единица измерения момента импульса:

[ L ] = Н·м·с = кг·м²/c.

Для момента импульса тела можно записать

,

или

L = I w. (4)

Дифференцируя (4) по времени, получаем выражение (3):

,

т.е. приходим к выражению, которое является другой формой записи 2-го закона Ньютона для вращательного движения.

Если момент внешних сил, действующих на тело равен нулю, т.е.

,

откуда получаем , (5)

следовательно, момент импульса изолированного тела есть величина постоянная. Таким образом, формула (5) выражает собой закон сохранения момента импульса.

Зависимость ε от M при неизменном I представлена на рис. 6, а зависимость ε от I при неизменном M на рис. 7.

---

Дата добавления: 2015-11-26