Краткая теория. Цель работы: изучение основного закона динамики вращательного движения

МАЯТНИК ОБЕРБЕКА

Цель работы: изучение основного закона динамики вращательного движения, определение момента инерции системы грузов.

Приборы и принадлежности: лабораторный модуль ЛКМ-3 со стойкой и блоком, стержень с отверстиями, два круглых груза, груз наборный, нить длиной 55 см с крючком (синяя), измерительная система ИСМ-1 (секундомер), пластиковый фиксатор.

Краткая теория

Основной закон динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси

I β=М (1)

связывает кинематическую характеристику движения - угловое ускорение β с динамическими

характеристиками - моментом силы М и моментом инерции Ι.

Угловое ускорение характеризует изменение угловой скорости со временем и направлено, как и момент силы, вдоль оси вращения.

Угловое ускорение связано с касательной составляющей линейного ускорения а_х точки вращающегося тела

a_τ = β r, (3)

где r - кратчайшее расстояние от этой точки до оси вращения.

Моментом силы в общем случае называют векторную величину

M=[r x F], (4)

где F - сила, лежащая в плоскости, перпендикулярной оси вращения,

r - вектор, соединяющий точку на оси, относительно которой находится момент силы, с точкой приложения силы. В уравнении (1) М - сумма составляющих моментов сил вдоль направления оси вращения.

Момент инерции I характеризует распределение массы в твердом теле относительно оси вращения и является мерой инертности вращающегося тела. Момент инерции равен сумме произведений элементарных масс Δ m,на которые мысленно разбито тело, на квадрат их расстояний до оси вращения I = ∑Δm_i r_i² (5)

Выражая Δm_i через плотность тела Δm_i = ρΔV_i, где ΔV_i - элементарный объем тела, и переходя к пределу ΔV_i → 0, получим

I=∫pr²dV. (6)

Формула (45) позволяет теоретически найти момент инерции любого тела, Например, момент инерции тонкого однородного стержня длиной ℓ и массой т. относительнооси, проходящей перпендикулярно стержню через его центр

I = ml ²/ 12

Теорема Штейнера устанавливает связь между моментом инерции I_с твердого тела относительно оси, проходящей через центр инерции, и моментом инерции относительно другой оси, параллельной первой

I = I_с + ma² (7)

где а - расстояние между осями, т - масса тела.

В настоящей работе экспериментально находится момент инерции маятника Обербека (рис. 2). Он состоит из блока радиусом R, который может вращаться вокруг неподвижной горизонтальной оси. К блоку прикреплены симметричноотносительно оси стержни, на каждом из которых могут свободно перемещаться грузы массами m₁ что дает возможность изменять момент инерции маятника. Грузы m₁ устанавливаются на одинаковом расстоянии от оси, так что центр инерции всей вращающейся части маятника находится на оси вращения.

На блок намотана нить, к концу которой прикреплен груз массой т.

Из закона динамики вращательного движения (1) следует:

I = M / β (8)

Момент силы М, создающийся силой натяжения нити, исходя из (4) равен

M=TRsinα, (9)

где а - угол между вектором Т и отрезком R на рис. 2, равный 90°; sin α = 1.

Запишем второй закон Ньютона для поступательного движения груза m в проекции на направление ускорения а

ma=mg-T (10)

В этой формуле сила натяжения нити T, действующая на груз, по модулю равна силе

натяжения нити, действующей на блок в формуле (9) (поэтому они обозначены одинаково). Это справедливо, если массой нити можно пренебречь по сравнению с массой груза т.

Из (9) и (10) получим

M = mR(g - a) (11)

Тангенциальное (касательное) ускорение точек участков нити, намотанной на блок, и точек на ободе блока равны, если нет проскальзываний нити по блоку, и равны ускорению груза т, если нить нерастяжима.

Тогда из (3) следует

β = a/R (12)

Подставляя (11) и (12) в (8), получим

I = mR ² (g – a) /a. (13)

Из этой формулы следует, что ускорение а не зависит от времени, так как все остальные величины в этом уравнении постоянны. Значит движение маятника будет равноускоренным и при нулевой начальной скорости Ф = 2h / t ², (14)

где h - путь, пройденный грузом т за время t.

В данной работе измеряется время одного полного оборота блока и за это время груз массой m пройдет путь

H = 2πR (15)

Подставив (14) и (15) в (13), получим формулу для вычисления момента инерции маятники I =

mR²(gt²-4πR)

R

Момент инерции маятника Обербека будет изменяться при изменении расстояния r от оси вращения маятника до центров грузов массами m₁, перемещаемых вдоль стержней.

Согласно теореме Штейнера (7)

I = I_c + 4m₁r² (17)

где I_c - момент инерции всей вращающейся части маятника при условии, что центры грузов m₁ находились бы на оси вращения.

Из (17) следует, что зависимость I от r₂ - линейная.

В рассмотренной теории движения маятника Обербека не учитывались силы трения в подшипниках оси блока и сопротивление воздуха. Пренебрежение действием этих сил является главной причиной систематической погрешности измерения момента инерции.

Дата добавления: 2015-11-26