Тема 1.5. Статика. Пространственная система сил

ЛЕКЦИЯ 8

Тема 1.6. Центр тяжести

Иметь представление о системе параллельных сил и центре системы параллельных сил, о силе тяжести и центре тяжести.

Знать методы для определения центра тяжести тела и фор­мулы для определения положения центра тяжести плоских фигур.

Уметь определять положение центра тяжести простых гео­метрических фигур, составленных из стандартных профилей.

Теорема Вариньона

Пари параллельном переносе сил в точку главный момент системы

М_гл = ΣF_kl,

где ΣF_k - сумма перенесённых сил;

l – расстояние от линии действия сил до точки приведения (плечи сил).

Непосредственно из этого равенства вытекает важная зависи­мость между моментом равнодействующей и моментами составляю­щих сил, известная в механике как теорема Вариньона.

Перепишем равенство в таком виде:

— момент равнодей­ствующей относительно любой точки. Но

М_гл = ΣМ₀(F_k)

Поэтому последнее равенство можно переписать в виде

т. е. момент равнодействующей произвольной плоской системы сил относительно любой точки равен алгебраической сумме моментов сил системы, взятых относительно той же точки.

С помощью теоремы Вариньона решаются многие задачи механи­ки. В частности, легко определяется равнодействующая системы параллельных сил. Как это делается, покажем на примере.

Пример. Определить равнодействующую пяти параллельных сил F₁ = 6 Н, F₂ = 8 Н, F₃ = 10 Н, F₄ = 15 Н, F₅ = 3 Н, приложенных к телу, как пока­зано на рисунке а.

Решение

1. Находим модуль равнодействующей. Как известно,

Но если ось х расположить перпендикулярно силам, а ось у — параллельно (рис. 1.47, а), направив ее положительный отсчет вниз, то проекции каждой из сил на ось х равны нулю и, зна­чит,

а проекции сил на ось у равны их модулям с соответствующими зна­ками: F_1y = F₁ = 6 Н; F_2y= F₂ = 8 H; F_3y = F₃ = 10 H; F_4y = F₄ = 15 Н и F_5y = F₅ = 3H.

Таким образом, модуль равно­действующей системы параллель­ных сил

Вектор равнодействующей F_Σ направлен параллельно составляю­щим силам в сторону положитель­ного отсчета оси у, если XF_ky > 0, и в сторону отрицательного отсчета, если ΣF_ky < 0.

В данном случае F_Σ = ΣF_к = 6 — 8 + 10 + 15 — 3 = 20 Н, т. е. равнодействующая равна 20 Н и направлена вниз.

2. Изобразим эту равнодействующую условно штриховой линией на некото­ром расстоянии х от начала координат (рис. а) и запишем моменты всех сил относительно точки Ах'

И, согласно теореме Вариньона, получим

— F_Σx = F_{2 *} A₁A₂ – F_{3 *} A₁A₃ – F_{4 *} A₁A₄ + F_{5 *} A₁A₅

Отсюда после подстановки известных числовых значений сил и плеч —20 x = 8 – 0,2 — 10 – 0,4 — 15 – 0,6 + 3 – 0,8, получим

Следовательно, F_Σ = 20 Н, а ее линия действия, параллельная составляющим силам, проходит от точки A₁ на расстоянии l = 0,45 м (рис. 1.47,6).

Известные из физики зависимости, возникающие при сложении двух параллельных сил, можно получить из теоремы Вариньона.

Даны приложенные к телу параллельные силы F₁ и F₂, направ­ленные в одну сторону. Согласно равенству F_Σ = ΣF_k ясно, что в данном случае

а вектор равнодействующей F_Σ, приложенный в некоторой точке С, направлен параллельно силам в ту же сторону.

Возьмем сумму моментов сил относительно точки С (точки, че­рез которую проходит линия действия равнодействующей). Тогда

и, следовательно,

или

отсюда получаем известную из физики пропорциональную за­висимость:

т. е. расстояния от линии действия двух параллельных сил до ли­нии действия равнодействующей обратно пропорциональны силам.

Легко доказать (проделайте это самостоятельно), что такую же за­висимость получим и при опре­делении равнодействующей двух параллельных сил, направленных в противоположные стороны, хотя в этом случае модуль равнодейст­вующей F_Σ = F₁ — F_2. Направлена она в сторону большей по модулю силы, и линия ее действия распо­ложена не между слагаемыми силами, а за большей из них (рис. б).

---

Дата добавления: 2015-11-26