Интерференция воли

ВОЛНЫ

Распространение волн в упругой среде.

Пусть точка, совершающая колебание, находится в среде, все частицы которой связаны между собой. Тогда энергия колебания точки может передаваться окружающим точкам, вызывая их колебание. Явление распространения колебания в среде называется волной. Пример образования волн мы получим, если бросим камень на поверхность воды: область водяной поверхности, которая непосредственно возмущена падающим камнем, начинает колебаться, причем это колебание распространяется от этой области к следующим, и мы получаем на поверхности воды волну. Другой пример образования волны можно получить, если взять веревку и одному из ее концов придать ш рукой колебательное движение; в этом случае колебание также начнет распространяться вдоль веревки: по веревке побежит волна.

Заметим сразу, что при распространении колебаний колеблющиеся частицы не перемещаются с распространяющимся колебательным процессом, а колеблются около своих положений равновесия.

Если частицы колеблются по той же прямой, вдоль которой распространяется колебание, то мы назовем волну продольной; если колебания частиц перпендикулярны к направлению распространения колебаний, то волна называется поперечной.

Являются ли волны, распространяющиеся в среде, продольными или поперечными — зависит от упругих свойств среды.

Если при сдвиге одного слоя среды по отношению к другому слою возникают упругие силы, стремящиеся возвратить сдвинутый слой в положение равновесия, то в среде могут распространяться поперечные волны (такой средой, вообще говоря, служит твердое тело). Если в среде не возникают упругие силы при сдвиге параллельных слоев друг относительно друга, то поперечные волны не могут образоваться. Например, жидкость и газ представляют среды, в которых поперечные волны не распространяются (последнее не относится к поверхности жидкости, в которой могут распространяться и поперечные волны, носящие, однако, более сложный характер: в них частицы движутся по замкнутым круговым или эллиптическим траекториям). Если в среде возникают силы упругости при деформации сжатия и растяжения, то в такой среде могут распространяться продольные волны. Например, жидкость или газ при сжатии дают увеличение давления, сила которого, как мы видели, играет роль силы упругости при деформации сжатия. В жидкости и в газе распространяются только продольные волны. В твердых телах продольные волны могут существовать наряду с поперечными.

Расстояние, на которое определенная фаза колебания распространяется за один период колебания, называется длиной волны, длину волны обозначим буквой λ.

Под скоростью распространения волны подразумевается ее фазовая скорость, т. е. скорость распространения данной фазы колебания. Понятно, что

Представим, что точка, от которой идут колебания (центр коколебания), колеблется в сплошной среде. Колебания распространяются от центра во все стороны. Геометрическое место точек, до которых к некоторому моменту времени дошло колебание, назовем фронтом волны. Можно также в среде выделить геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковых фазах; эта совокупность точек образует поверхность одинаковых фаз, или, как говорят, волновую поверхность. Очевидно, что фронт волны является частным случаем волновой поверхности. Если среда изотропна, то колебания от центра колебаний распространяются одинаково во все стороны, в этом случае и фронт волны и поверхности одинаковых фаз представляют собою сферы, центр которых лежит в центре колебания. Очевидно, что радиус фронта волны представляет собою отрезок, на который колебания с данной фазой распространились за время t, прошедшее с момента начала колебаний точки, расположенной в центре, откуда

r =Vt,

где V — скорость распространения волн.

Форма фронта волны определяет типы волн, например, плоской волной называется волна, фронт которой представляет плоскость, и т. д.

Направления, в которых распространяются колебания, называются лучами. В изотропной среде лучи нормальны к фронту волны; при сферическом фронте волны лучи направлены по радиусам.

Принцип Гюйгенса. Весьма важно для решения различных задач иметь метод построения фронта волны, относящегося к некоторому моменту времени, если известен фронт волны в предыдущий момент. Такой метод был дан Гюйгенсом в 1690 г.; он носит название принципа Гюйгенса.

Гюйгенс дал свой принцип без строгого доказательства; правильность принципа Гюйгенса вытекала только из сравнения результатов построений с опытом. Значительно позднее правильность метода Гюйгенса была доказана на основании общей теории упругости. Чтобы несколько уяснить себе идею метода Гюйгенса, рассмотрим следующий опыт. Представим себе, что на поверхности воды распространяется волна произвольной формы. Поставим на пути этой волны преграду А с отверстием а, размеры которого малы по сравнению с длиной волны λ.

Волна, дойдя до преграды А, отразится от нее, а отверстие а в преграде будет служить источником колебаний, распространяющихся по другую сторону преграды. При этом от отверстия, независимо от формы распространявшейся волны, пойдут вперед полукольцевые волны В. Отверстие будет как бы служить новым центром колебания, от которого колебания распространяются вперед во всех направлениях. Этот опыт наводит на мысль, что каждую точку среды, до которой дошел волновой фронт, можно рассматривать как новый источник колебаний. Отсюда — сущность принципа Гюйгенса.

Предположим, что в некоторый момент известен фронт волны АВ, пришедшей в направлении, указанном стрелками.

Для построения нового фронта, относящегося к моменту на промежуток времени t более позднему, следует каждую точку старого фронта принять за самостоятельный центр распространяющихся вперед колебаний. Построим из каждой точки элементарную волновую поверхность, которая будет полусферической поверхностью радиуса r= Vt. Огибающая AtBt всех элементарных волновых поверхностей даст новый фронт волны.

На рис. дан участок плоского фронта волны АВ.

Приняв все точки этого фронта за самостоятельные колебания и проведя вокруг них элементарные полусферы, получим огибающую поверхность в виде плоскости, параллельной плоскости АВ. Лучи, т. е. направления, в которых распространяется колебание, являются прямыми, перпендикулярными к плоскости фронта. Отсюда заключаем, что плоская волна, распространяясь в одной изотропной среде, остается плоской; лучи представляют собою пучок параллельных прямых. В однородной изотропной среде волновой фронт, перемещаясь, всегда остается геометрически подобным себе.

Рассмотрим теперь, что будет с плоской волной, если на пути ее распространения поставлена преграда А с отверстием а, размеры которого больше длины волны λ.

Плоский фронт ВВ`, подходя к преграде А, отразится от нее, а точки отверстия а станут самостоятельными центрами колебания. Вокруг каждой точки образуется элементарная полусферическая волновая поверхность; огибающая этих волновых поверхностей дает фронт волны за отверстием. Из рис. видно, что этот фронт за отверстием перестает быть плоским, только его средняя часть параллельна первоначальному фронту; у краев фронт загибается— лучи меняют свое первоначальное направление. Чтобы полностью учесть такое загибание лучей, носящее название диффракции, надо сложить колебания, приходящие от отдельных точек отверстия, учитывая их фазы.

Уравнение волны.

Выясним, каким образом можно аналитически охарактеризовать волновой процесс. Представим себе первоначально волны, бегущие вдоль некоторой прямой, например вдоль веревки, один конец которой поддерживается в состоянии колебания. Обозначим через х смещение точки из положения равновесия. Волновой процесс будет известен, если знать, какое значение имеет х в каждый момент времени для каждой точки прямой, вдоль которой распространяется волна. Другими словами, надо знать смещение точки х как функцию времени и координат равновесного положения точек.

Выберем за начало координат 0 ту точку на прямой, которая является центром колебаний. Пусть колебания в точке 0 происходят по закону:

Здесь а — амплитуда колебаний, ω — круговая частота, t — время, отсчитанное от момента начала колебаний.

Возьмем на прямой произвольную точку А, лежащую от начала координат на расстоянии у. Колебания, распространяясь от точки 0, дойдут до точки А через промежуток времени

где V — скорость распространения волны. Таким образом, точка А начнет колебаться на время τ позже точки 0. Считая, что волны, распространяющиеся вдоль рассматриваемой прямой, не затухают, мы получим, что точка А, когда дойдет до нее волна, начнет колебаться с амплитудой а и круговой частотой ω, т. е. ее смещение х из положения равновесия выразится:

где t`— время, отсчитанное от того момента, когда точка А начала колебаться. Но так как точка А, по выясненному, начала колебаться на промежуток времени τ позже точки 0, то t` = t - τ; подставляя это значение t` в (3), получим

или, подставляя сюда вместо τ его значение по (2),

Это выражение дает смещение х как функцию времени t и расстояния у точки А от центра колебаний 0; оно представляет собою искомое уравнение волны, распространяющейся вдоль прямой 0А. Выражение (4) представляет собою уравнение плоской волны, распространяющейся вдоль направления у. В самом деле, в этом случае любая плоскость, перпендикулярная к направлению у, представит собою поверхность одинаковых фаз, и, следовательно, все точки этой плоскости имеют в один и тот же момент времени t одно и то же смещение х, определяемое лишь расстоянием у, на котором плоскость лежит от начала координат О.

Выражение (4) может быть преобразовано, если мы воспользуемся соотношением,

где λ — длина волны распространяющихся волн, тогда

или, если вместо круговой частоты ω ввести обычную частоту, то

Разберем на примере волны, распространяющейся вдоль прямой, следствия, вытекающие из уравнения (4). Волновой процесс — это процесс двоякопериодический: аргумент косинуса в формуле (4) зависит от двух переменных — времени t и координаты у. Таким образом, волна имеет двойную периодичность — в пространстве и во времени. Для данного момента времени t уравнение (4) дает распределение смещения частиц х как функцию их расстояния у от начала координат; частицы, колеблющиеся под влиянием бегущей волны в данный момент времени t расположены по косинусоиде. Данная частица, характеризуемая определенным значением у, совершает во времени гармоническое колебательное движение:

Величина α постоянна для данной точки, причем α представляет собою начальную фазу колебаний в этой точке. Две точки, характеризуемые расстояниями у₁ и у₂ от начала координат, имеют разность фаз:

Отсюда видно, что две точки, отстоящие друг от друга на расстоянии, равном длине λ, т.е. для которых у_{2 -} у₁ = λ, имеют разность фаз α₂ - α₁ = 2 π; они имеют для каждого данного момента t одинаковые по величине и направлению смещения х; про такие две точки говорят, что они колеблются в одинаковой фазе.

Рассмотренные выше волны, распространяющиеся вдоль одной прямой, являются частным случаем волн. В упругой среде возможны волны иного вида, например, сферические волны. В сферической волне амплитуда убывает обратно пропорционально расстоянию r от источника колебаний. Зависимость смещения от координат и времени имеет вид:

Поверхность равных фаз в некоторый момент времени определяется уравнением r = const, т. е. представляет собой сферу радиуса r. Отсюда и происходит яазвание „сферическая" для такой волны.

.

Интерференция воли

В среде могут распространяться одновременно колебания, исходящие от разных центров колебаний. Если две различные системы волн, исходящих из разных источников, перекрываются в некоторой области, а затем снова расходятся, то дальше каждая из них распространяется так, как если бы она не встречала на своем пути другую. Этот принцип независимости распространения волн известен под названием принципа суперпозиции; он является весьма характерным для распространения волновых процессов.

Принцип суперпозиции легко проверить, бросив в воду два камня. После того как кольцевые волны, возникшие около мест падения камней, проникнув друг через друга, снова разойдутся, они будут представлять собою по-прежнему правильные круги с центрами в местах падения камней. Этот факт был замечен еще Леонардо да-Винчи.

В области перекрытия волн колебания налагаются друг на друга, происходит сложение (интерференция) волн, в результате чего колебания в одних местах получаются более сильные, а в других — более слабые. В каждой точке среды результирующее колебание будет суммой всех колебаний, дошедших до данной точки.

Особенный интерес представляет тот случай, когда источники колебаний колеблются с одинаковой частотой, имеют одинаковые направления колебаний и одинаковые фазы или постоянную разность фаз. Такие источники называются когерентными. Как мы увидим ниже, в этом случае результирующее колебание в каждой точке среды имеет постоянную во времени амплитуду, зависящую от расстояний точки среды от источников колебаний. Такого рода сложение колебаний называется интерференцией от когерентных источников.

Когерентные источники колебаний можно, например, осуществить следующим образом: возьмем точечный источник S, от которого распространяется сферическая волна. На пути волны поставлена преграда BB₁с двумя точечными отверстиями S₁ и S₂, расположенными симметрично по отношению к источнику S.

Отверстия S₁ и S₂ становятся, согласно принципу Гюйгенса, самостоятельными источниками колебаний, притом колеблющимися с одинаковой амплитудой и в одинаковых фазах, так как их расстояния от источника S одинаковы. Справа от преграды ВВ₁ будут распространяться две сферические волны, и в каждой точке среды колебание возникнет в результате сложения этих двух волн. Рассмотрим результат сложения в некоторой точке А, которая отстоит от источников S₁ и S₂ соответственно на расстоянии r₁ и r₂. Колебания доходят до точки А с некоторой разностью фаз, которая зависит от разности расстояний r₁ и r_2.

Колебания источников S₁ и S₂, имеющие одинаковые фазы, можно представить в виде:

Тогда колебания, дошедшие до точки А соответственно от источников S₁ и S₂, по формуле (8) выразятся:

где ν = ω/2π — частота колебаний. Согласно (8), a₁/a₂=r₂/r₁. Однако если r₂-r₁ <<r₁, то приближенно можно считать а₁ ~ а₂.

Разность фаз слагаемых колебаний в точке А будет

Амплитуда результирующего колебания зависит от разности фаз слагаемых колебаний, причем, если разность фаз равна нулю или кратна 2 π, то амплитуда имеет максимальное значение, равное сумме амплитуд слагаемых колебаний. Если разяость фаз равна нечетному числу π, то амплитуда имеет минимальное зна- чение, равное разности слагаемых амплитуд. Следовательно, в точке А получится максимум или минимум колебаний в зависимости от того, с какой разностью фаз Δα подходят к точке А оба колебания.

Таким образом, в результате наложения двух волн в среде возникают колебания, амлитуда которых различна в разных точках среды, при этом в каждой точке среды получается или максимум амплитуды, или минимум амплитуды, или ее промежуточное значение — в зависимости от значения разности расстояний точки до когерентных источников.

Образование такого рода интерференционных максимумов и минимумов можно легко наблюдать при распространении двух систем волн на поверхности воды.

Дата добавления: 2015-11-26