Непротиворечивость системы аксиом евклидовой геометрии

Вообще, рассматривается три существенных свойства аксиом: непротиворечивость, независимость, полноту.

1. Система аксиом называется непротиворечивой, если из нее не следует какого-либо утверждения вместе с его отрицанием.

2. Аксиомы называются независимыми, если ни одна из них не следует из других.

3. Система аксиом называется полной, она не может быть пополнена, т. е. если к аксиомам нельзя добавить никакой аксиомы, которая из них не следовала бы и вместе с тем им не противоречила.

Проведем исследование системы аксиом А.В. Погорелова. Для построения реализации системы аксиом евклидовой геометрии возьмем объекты множества действительных чисел, так чтобы основным понятиям и аксиомам этой системы придается арифметический смысл. Такая интерпретация называется декартовой или арифметической.

Определение 1. Точкой назовем пару действительных чисел x, y, взятых в определенном порядке: . Числа x, y называются координатами точки.

Определение 2. Прямой называется совокупность всех точек, координаты которых удовлетворяют уравнению: , где . Это уравнение называется уравнением прямой. Прямые будем называть осями координат, а точку (0,0) – началом координат.

Определение 3. Будем говорить, что точка принадлежит прямой, если ее координаты удовлетворяют уравнению прямой.

Покажем, что при таком конкретном понимании основных понятий «точка», «прямая», «принадлежать» для них выполняются аксиомы принадлежности.

1.Докажем истинность аксиомы , которая утверждает, что через две точки можно провести прямую, и причем только одну.

Пусть - данные точки. Тогда прямой, которая проходит через эти точки, будет прямая, которая задается уравнением , так как координаты этих точек удовлетворяют этому уравнению. Докажем, что эта прямая единственная. Допустим, что через данные точки проходят две прямые. Тогда система уравнений имеет два решения. Но в таком случае система имеет бесконечное множество решений, тогда эти уравнения линейно зависимы. А это означает, что прямые совпадают.

2.Докажем истинность аксиомы , которая утверждает, что на каждой прямой существует, по крайней мере две точки, и существуют три точки, которые не лежат на прямой.

Пусть - прямая. Тогда один из коэффициентов или отличен от нуля. Пусть, например, . Возьмем произвольные числа и най дем числа по формуле .

Точки лежат на этой прямой.

Рассмотрим точки (0,0), (0,1), (1,0). Эти три точки не лежат на одной прямой. Действительно, допустим, что они лежат на некоторой прямой . Подставляем координаты точек в это уравнение, получим Тогда получим противоречие нашему определению прямой.

Дадим арифметический смысл понятию «длина отрезка».

Определение 4. Расстоянием между точками назовем число .

Определение 5. Длиной отрезка называют расстояние между его концами.

Тогда выполняется аксиома существования отрезка данной длины.

Действительно, каким бы ни было число , существует отрезок длины . Таким отрезком будет, например, отрезок с концами в точках , поскольку .

Проверим выполнимость аксиомы параллельности, а именно: покажем, что в декартовой реализации через точку , которая не лежит на прямой , можно провести не больше одной прямой параллельной ей.

Допустим, существует две прямые , которые проходят через данную точку и параллельны данной прямой. Тогда имеем системы уравнений:

, они будет несовместны.

Тогда выполняется условие:

. Отсюда выходит, что . Поскольку система уравнений имеет решение , то ее уравнения линейно независимы. А это означает, что прямые совпадают, что противоречит условию.

Аналогично можно показать, что в данной реализации выполняются все аксиомы евклидовой геометрии.

Мы построили арифметическую реализацию системы аксиом евклидовой геометрии, найдя геометрическим понятиям конкретный арифметический смысл и показав, что все аксиомы евклидовой геометрии в этой реализации выполняются. Поскольку аксиомы геометрии в этой реализации доказывались на основе аксиом арифметики, то вопрос про непротиворечивость системы аксиом евклидовой геометрии сводится к вопросу про непротиворечивость арифметики, таким образом евклидова геометрия непротиворечива, поскольку непротиворечива арифметика действительных чисел.

А непротиворечивость аксиом арифметики подтверждается богатовековым опытом человечества.

Дата добавления: 2015-11-26