Система аксиом Погорелова

Рассмотрим еще одну из современных аксиоматических построений евклидовой геометрии на основе аксиом, предложенных украинским геометром академиком А.В. Погореловым, которая ближе всего стоит к школьному курсу геометрии.

Основными объектами в системе аксиом Погорелова – это точка, прямая и плоскость, а основными отношения – «принадлежность», «лежать между», «длина», «градусная мера». Система аксиом состоит из девяти аксиом планиметрии и трех аксиом стереометрии.

I группа. Аксиомы принадлежности

Аксиомы принадлежности на плоскости определяют свойства взаимного расположения точек и прямых, которые определяются отношением «принадлежать». При этом считается равнозначным выражения: «точка принадлежит прямой»; «точка лежит на прямой»; «прямая проходит через точку».

. Каковы бы ни были две точки, существует прямая, которая проходит через эти точки, и причем только одна.

. На каждой прямой лежат, по крайней мере две точки. Существуют три точки, не лежащие на одной прямой.

II группа. Аксиомы порядка

Эти аксиомы выражают свойства взаимного расположения точек на прямой, то есть объясняется отношение «лежать между».

. Из трех точек одна и только одна лежит между двумя другими.

. Прямая разбивает множество точек плоскости, которые ей не принадлежат, на два подмножества (полуплоскости) так, что отрезок соединяет точки одной полуплоскости, не пересекает прямую, а отрезок, который соединяет точки разных полуплоскостей, пересекается этой прямой.

III группа. Аксиомы меры для измерения углов

Эти аксиомы определяют понятие «длина отрезка», «градусная мера угла».

. Каждый отрезок имеет определенную длину, большую нуля. Если точка С лежит на отрезке АВ, то длина отрезка АВ равна сумме длин отрезков АС и ВС.

. Каждый угол имеет определенную градусную меру, большую нуля. Развернутый угол равен . Если луч с проходит между сторонами угла (ав), то градусная мера угла (ав) равна сумме градусных мер углов (ас) и (вс).

IV группа. Аксиома существования треугольника, равного данному

На основе аксиом меры для отрезков и углов можно ввести отношение равности для отрезков, углов и треугольников.

. Пусть АВС – треугольник и а – луч. Тогда существует треугольник равного треугольнику АВС, в котором вершина совпадает с началом луча а, вершина лежит на луче а, а вершина лежит в заданной полуплоскости относительно прямой, которая определяется лучом а.

V группа. Аксиома существования отрезка данной длины

. Каким бы ни было действительное число , существует отрезок длины d.

VI группа. Аксиома параллельности

. Через точку, которая не лежит на данной прямой, можно провести на плоскости не более одной прямой, параллельной данной.

VII группа. Пространственные аксиомы

. Какова бы ни была плоскость, существуют точки, которые принадлежат этой плоскости, и точки, которые ей не принадлежат.

. Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой.

. Если две различные прямые имеют общую точку, то через них можно провести плоскость, и причем только одну.

---

Дата добавления: 2015-11-26