Система аксиом Вейля

В 1917 – 1918 годах известный немецкий математик Герман Вейль (1885 – 1955) предложил векторное обоснование геометрии Евклида. В этой системе за исходные объекты взяты «вектор» и «точка», за основные отношения – «сумма векторов», «умножение вектора на число», «скалярное произведение», «отложение вектора от точки». Система векторов для трехмерного пространства состоит из 17 аксиом, разбитых на пять групп:

1.Аксиомы сложения векторов (4).

2.Аксиомы умножения вектора на число (4).

3.Аксиомы скалярного произведения (5).

4.Аксиомы размерности (2).

5.Аксиомы отложения вектора (2).

I группа. Аксиомы сложения векторов

Основное отношение: каждым двум векторам и соответствует один определенный вектор , который называется их суммой и обозначается .

1.1. Для каких-либо двух векторов и

.

1.2. Для каких-либо трех векторов

1.3. Существует такой вектор , что для любого вектора .

Вектор называется нулевым вектором.

1.4. Для любого вектора найдется вектор , что . Вектор называется противоположным вектором для вектора , и обозначается .

II группа. Аксиомы умножения вектора на число

Основные отношения: каждому вектору и каждому действительному числу k соответствует один определенный вектор, который называется произведением вектора на число k и обозначается .

2.1. для любого вектора .

2.2. для любого вектора и любых действительных чисел

2.3. для любого вектора и любых действительных чисел

2.4. для любых векторов и любого действительного числа k.

III группа. Аксиомы скалярного произведения векторов (метричные аксиомы)

Основные отношения: каждым двум векторам и соответствует одно определенное действительное число, которое называется скалярным произведением и обозначается .

3.1. для любых двух векторов и .

3.2. для любых векторов

3.3. для любых векторов и любого действительного числа

3.4. для произвольного вектора .

3.5. тогда и только тогда, если .

IV группа. Аксиомы отложения вектора

Основные отношения: каждой паре точек А, В соответствует один определенный вектор, который обозначается

5.1. Для любой точки А и какого-либо вектора существует единственная точка В, что (в таком случае говорят, что точку В получили путем отложения вектора от точки А).

5.2. для любых трех точек А, В и С.

---

Дата добавления: 2015-11-26