Задание. Дифференцирование функций.

Производной функции y=f(x) называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремиться к нулю

Правила:

1.

2.

3.

4. Если y=f(u) и u=q(x) дифференцируемые функции своих аргументов, то производная сложной функции y=f(q(x)) существует и равна произведению производной данной функции y по промежуточному аргументу u на производную промежуточного аргумента u по независимой переменой x.

.

Следствие: Постоянный множитель выносится за знак производной

Формулы дифференцирования для сложной функции, где u(x) –внутренняя функция

Производной второго порядка или второй производной функции y=f(x) называется производная от ее первой производной функции . Она обозначается

. Аналогично определяются и обозначаются производные третьего, четвертого и других порядков

.

Примеры: 1) Найти производную функции

	Производная суммы равна сумме производных Воспользуемся формулами из таблицы производных - формулы производных степенной, тригонометрической и логарифмической функций: , .
Ответ.

2) Найти производную функции . По правилу дифференцирования произведения получаем: , теперь воспользуемся формулами для производных степенной и тригонометрической функций: , . Ответ: .

3) Найти производную функции

	По свойству дифференцирования частного получаем: Далее пользуясь формулами для производных логарифмической и степенной функции, получим: Для вычисления производной функции использовались правила дифференцирования и таблица производных функций.
Ответ.

4) Правила дифференцирования сложной функции применяются следующим образом:

Уравнение касательной к графику функции у=f(x) в точке х₀=а

Итак, пусть дана функция y = f (x), которая имеет производную y = f ’(x) на отрезке [a; b]. Тогда в любой точке x₀ ∈ (a; b) к графику этой функции можно провести касательную, которая задается уравнением:

y = f ^/ (x₀) · (x − x₀) + f (x₀)

Здесь f ^/ (x₀) — значение производной в точке x₀, а f (x₀) — значение самой функции.

Пример:

Дана функция y = x³. Составить уравнение касательной к графику этой функции в точке x₀ = 2.

Уравнение касательной: y = f ^/ (x₀) · (x − x₀) + f(x₀). Точка x₀ = 2 нам дана, а вот значения f (x₀) и f ^/ (x₀) придется вычислять.

Для начала найдем значение функции. Тут все легко: f (x₀) = f (2) = 2³ = 8;
Теперь найдем производную: f ^/ (x) = (x³) ^/ = 3x²;
Подставляем в производную x₀ = 2: f ^/ (x₀) = f ^/ (2) = 3 · 2² = 12;
Итого получаем: y = 12 · (x − 2) + 8 = 12x − 24 + 8 = 12x − 16.
Это и есть уравнение касательной.

Физический смысл производной:

Если зависимость расстояния от времени представляет собой функцию S(x), то, чтобы найти скорость тела в момент времени t₀, нужно найти значение производной функции S(x) в точке х=t₀: S^/(t₀)=V(t); а чтобы вычислить значение ускорения в момент времени t₀, нужно найти значение производной функции V(x) в точке х=t₀: V^/(t₀)=a(t₀).

Пример. Материальная точка движется прямолинейно по закону s(t)=6t²-48t+17, где s(t)— расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t=9c.

Решение. Найдем производную функции s(t)=6t²-48t+17: s^/ (t) = 12t-48. Найдем значение производной в точке t=9: s^/ (9)=12*9-48, v(t)= s^/ (9)=60. Ответ: 60 м/с.

Решение тригонометрических уравнений:

Определение. Тригонометрическим уравнением называется уравнение, содержащее переменную под знаком тригонометрических функций.

Простейшими тригонометрическими уравнениями являются уравнения вида

, , , .

Рассмотрим, при каких значениях тригонометрические уравнения разрешимы и как правильно находить все решения таких уравнений.

Уравнение.

Так как множество значений функции - отрезок [-1;1], то данное уравнение разрешимо тогда и только тогда, когда

.

Далее, из-за периодичности функции , каждому значению соответствует бесконечное множество решений. Поэтому все решения описываются формулами:

или обобщенной формулой

.

Пример1. Решить уравнение .

Решение. .

Ответ: .

Уравнение.

Данное уравнение имеет тогда и только тогда, когда .

Множество решений записывается в виде

.

Заметим, что .

Особо отметим некоторые частные случаи, к которым обычно приходят в процессе решения данного уравнения:

Пример2. Решить уравнение .

Решение. .

Ответ: .

Уравнение .

Данное уравнение разрешимо при любом . Все решения задаются формулой

.

Заметим, что .

Особо отметим некоторые частные случаи, к которым обычно приходят в процессе решения данного уравнения:

Пример3. Решить уравнение .

Решение. .

Ответ: .

Уравнение .

Данное уравнение разрешимо при любом . Все решения задаются формулой

.

Пример4. Решить уравнение .

Решение.

Ответ: .

Пример 5. Решить уравнение .

Решение. Это уравнение является квадратным относительно . Поэтому сделаем замену . В результате получим уравнение . Его корни: , то есть получаем уравнение или . Первое уравнение дает . Второе уравнение не имеет корней.

Ответ: .

Пример 6. Решить уравнение .

Решение. Так как , то уравнение можно представить в виде ; . Сделаем замену . Получим квадратное уравнение , решая которое, имеем: ,то есть . Таким образом, получим два простейших уравнения или . Решая их, имеем или .

Ответ:

Пример 7. Решить уравнение:

.

Решение. Это уравнение является однородным относительно и . поэтому, разделив его на , получим . Введем новую переменную и решим квадратное уравнение .

Его корни . получили два простейших тригонометрических уравнения . Решая их, найдем: или .

Ответ: .

Пример 8. Решить уравнение:

.

Решение. Это уравнение, сводящееся к однородному. Имеем

то есть получили однородное уравнение. Разделив обе части уравнения на , получим . Решая это уравнение, квадратное относительно , найдем, что либо . Таким образом, или .

Ответ: .

Для вычисления значений тригонометрических функций можно использовать следующую таблицу:

7.Вычисление неопределенных интегралов:

1. Таблица неопределённых интегралов.

	.		.
	.		.
	().		.
	.		.
	; .		.
	.
	.		.
	.		.
	.		.
	.		; .

В формулах 14, 15, 16, 19 предполагается, что a >0. Каждая из формул таблицы справедлива на любом интервале, на котором непрерывна подынтегральная функция. Все эти формулы можно доказать дифференцированием правой части.

Способ подстановки (замены переменных)

Теорема: Если требуется найти интеграл , но сложно отыскать первообразную, то с помощью замены x = (t) и dx = (t)dt получается:

ПРИМЕР 1. Найти неопределенный интеграл:

а) Найти интеграл по свойству неопределенного интеграла

б) . Сделаем замену t = sinx, dt = cosxdt.

в) Замена получаем:

Контрольная работа №2

По дисциплине «Математика»

I курс II семестр

1 вариант

1. Вычислите пределы функции:

а) при a=2;a=0;a=

б) при a=-1; a=2; a=

в) г) при a=-2; a=5; a=

2. Найдите производные функции.

a) б) в) г)

3. Найти скорость и ускорение материальной точки через (n+1)(c), где n-номер вашего варианта, если точка движется по закону S(t)=

4. Составьте уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой , если:

5. Исследовать функцию и построить график.

а) б)

6. Решите уравнения:

а)

б)

в)

г)

д)

7. Вычислите неопределенные интервалы:

;

;

;

;

)

м)

2 вариант

1. Вычислите пределы функции:

а) при a=-1; a=2; a=

б) при a=-1; a=4; a=

в) г) при a=-2; a=5; a=

2. Найдите производные функции.

a) б) в) г)

3. Найти скорость и ускорение материальной точки через (n+1)(c), где n - номер вашего варианта, если точка движется по закону S(t)=

4. Составьте уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой , если:

5. Исследовать функцию и построить график.

а) б)

6. Решите уравнения:

а)

б)

в)

г)

д)

7. Вычислите неопределенные интервалы:

а) ;

б) ;

в) ;

г)

д) ;

е)

ж)

з)

и)

к)

л)

м)

3 вариант

1. Вычислить пределы функций:

а) , при а=-2; а=3; а=¥;

б) , при а=1; а=-3; а=¥;

в) ; г) , при а=2; а=3; а=¥.

2. Найдите производные функций:

а) у= х⁸-5х+8; б) у= х*tgх; в) у ; г) у= .

3. Найдите скорость и ускорение материальной точки через n+1 секунду, где n- номер вашего варианта, если точка движется по закону: S(t)= 2t³-3t+1(м).

4. Составьте уравнение касательной к графику функции у= f(х) в точке с абсциссой х=а, если у= х²-3х+5, а=-1.

5. Исследовать функцию и построить ее график: а) у=3х³-х+2; б) 2х⁴+4х-6.

6. Решить уравнение:

а) tg = ; б) Sin()+1=0; в) 2Cos(2х- )=1; г) 2Cos²х-17Cosx-9=0;

б) 2Sin²(2х+ )-Sin(2х+ )-1=0.

7. Вычислите неопределенные интегралы:

а)	д)	и) dx
б)	е)	к)
в)	ж)	л)
г)	з)	н)

4 вариант

1. Вычислите пределы функции:

а) при a=3; a=5; a=

б) при a=--2; a=1; a=

в)

г) при a=2; a=4; a=

2. Найдите производные функции.

a) б) в) г)

3. Найти скорость и ускорение материальной точки через (n+1)(c), где n - номер вашего варианта, если точка движется по закону S(t)=

4. Составьте уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой , если:

5. Исследовать функцию и построить график.

а) б)

6. Решите уравнения:

а)

б)

в)

г)

д)

7. Вычислите неопределенные интервалы:

а) ;

б) ;

в) ;

г)

д) ;

е)

ж)

з)

и)

к)

л)

м)

5 вариант

1. Вычислите пределы функции:

а) при a=2; a=1; a=

б) при a=2; a=-5; a=

в)

г) при a=-2; a=2; a=

2. Найдите производные функции.

a) б) в) г)

3. Найти скорость и ускорение материальной точки через (n+1)(c), где n - номер вашего варианта, если точка движется по закону S(t)=

4. Составьте уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой , если:

5. Исследовать функцию и построить график.

а) б)

6. Решите уравнения:

а)

б)

в) 2

г)

д)

7. Вычислите неопределенные интервалы:

а) ;

б) ;

в) ;

г)

д) ;

е)

ж)

з)

и)

к)

л)

м)

6 вариант

1. Вычислите пределы функции:

а) при a= -2; a=0; a=

б) при a= -1; a=6; a=

в)

г) при a= -2; a=5; a=

2. Найдите производные функции.

a) б) в) г)

3. Найти скорость и ускорение материальной точки через (n+1)(c), где n - номер вашего варианта, если точка движется по закону S(t)=

4. Составьте уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой , если:

5. Исследовать функцию и построить график.

а) б)

6. Решите уравнения:

а)

б)

в) 2

г)

д)

7. Вычислите неопределенные интервалы:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) ;

е) ;

ж) ;

з) ;

и) ;

к) ;

л) ;

м)

7 вариант

1. Вычислите пределы функции:

а) при a= -3; a=0; a=

б) при a= -1; a=6; a=

в)

г) при a= -2; a=5; a=

2. Найдите производные функции.

a) б) в) г)

3. Найти скорость и ускорение материальной точки через (n+1)(c), где n - номер вашего варианта, если точка движется по закону S(t)=

4. Составьте уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой , если:

5. Исследовать функцию и построить график.

а) б)

6. Решите уравнения:

а)

б)

в) 2

г)

д)

7. Вычислите неопределенные интервалы:

а) ;

б) ;

в) ;

г)

д) ;

е)

ж)

з)

и)

к)

л)

м)

8 вариант

1. Вычислите пределы функции:

а) при a=2; a=0; a=

б) при a= -1; a=2; a=

в)

г) при a= -2; a=5; a=

2. Найдите производные функции.

a) б) в) г)

3. Найти скорость и ускорение материальной точки через (n+1)(c), где n - номер вашего варианта, если точка движется по закону S(t)=

4. Составьте уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой , если:

5. Исследовать функцию и построить график.

а) б)

6. Решите уравнения:

а)

б)

в) 2

г)

д)

7. Вычислите неопределенные интервалы:

а) ;

б) ;

в) ;

г)

д) ;

е)

ж)

з)

и)

к)

л)

м)

9 вариант

1. Вычислите пределы функции:

а) при a= -1; a=2; a=

б) при a= -1; a=4; a=

в)

г) при a=-2; a=2; a=

2. Найдите производные функции.

a) б) в) г)

3. Найти скорость и ускорение материальной точки через (n+1)(c), где n - номер вашего варианта, если точка движется по закону S(t)=

4. Составьте уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой , если:

5. Исследовать функцию и построить график.

а) б)

6. Решите уравнения:

а)

б)

в)

г)

д)

7. Вычислите неопределенные интервалы:

а) ;

б) ;

в) ;

г)

д) ;

е)

ж)

з)

и)

к)

л)

м)

10 вариант

1. Вычислите пределы функции:

а) при a= -2; a=3; a=

б) при a=1; a= -3; a=

в)

г) при a=2; a=3; a=

2. Найдите производные функции.

a) б) в) г)

3. Найти скорость и ускорение материальной точки через (n+1)(c), где n - номер вашего варианта, если точка движется по закону S(t)=

4. Составьте уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой , если:

5. Исследовать функцию и построить график.

а) б)

6. Решите уравнения:

а)

б)

в) 2

г)

д)

7. Вычислите неопределенные интегралы

а) ; б) ; в) ; г)

д) ; е) ж) з)

и) к) л) м)

Дата добавления: 2015-12-08