Читайте также:
|
|
Производной функции y=f(x) называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремиться к нулю
Правила:
1.
2.
3.
4. Если y=f(u) и u=q(x) дифференцируемые функции своих аргументов, то производная сложной функции y=f(q(x)) существует и равна произведению производной данной функции y по промежуточному аргументу u на производную промежуточного аргумента u по независимой переменой x.
.
Следствие: Постоянный множитель выносится за знак производной
Формулы дифференцирования для сложной функции, где u(x) –внутренняя функция
Производной второго порядка или второй производной функции y=f(x) называется производная от ее первой производной функции . Она обозначается
. Аналогично определяются и обозначаются производные третьего, четвертого и других порядков
.
Примеры: 1) Найти производную функции
Производная суммы равна сумме производных
![]() ![]() ![]() | |
Ответ. | ![]() |
2) Найти производную функции . По правилу дифференцирования произведения получаем:
, теперь воспользуемся формулами для производных степенной и тригонометрической функций:
,
. Ответ:
.
3) Найти производную функции
По свойству дифференцирования частного получаем:
![]() ![]() ![]() ![]() | |
Ответ. | ![]() |
4) Правила дифференцирования сложной функции применяются следующим образом:
Уравнение касательной к графику функции у=f(x) в точке х0=а
Итак, пусть дана функция y = f (x), которая имеет производную y = f ’(x) на отрезке [a; b]. Тогда в любой точке x0 ∈ (a; b) к графику этой функции можно провести касательную, которая задается уравнением:
y = f / (x0) · (x − x0) + f (x0)
Здесь f / (x0) — значение производной в точке x0, а f (x0) — значение самой функции.
Пример:
Дана функция y = x3. Составить уравнение касательной к графику этой функции в точке x0 = 2.
Уравнение касательной: y = f / (x0) · (x − x0) + f(x0). Точка x0 = 2 нам дана, а вот значения f (x0) и f / (x0) придется вычислять.
Для начала найдем значение функции. Тут все легко: f (x0) = f (2) = 23 = 8;
Теперь найдем производную: f / (x) = (x3) / = 3x2;
Подставляем в производную x0 = 2: f / (x0) = f / (2) = 3 · 22 = 12;
Итого получаем: y = 12 · (x − 2) + 8 = 12x − 24 + 8 = 12x − 16.
Это и есть уравнение касательной.
Физический смысл производной:
Если зависимость расстояния от времени представляет собой функцию S(x), то, чтобы найти скорость тела в момент времени t0, нужно найти значение производной функции S(x) в точке х=t0: S/(t0)=V(t); а чтобы вычислить значение ускорения в момент времени t0, нужно найти значение производной функции V(x) в точке х=t0: V/(t0)=a(t0).
Пример. Материальная точка движется прямолинейно по закону s(t)=6t2-48t+17, где s(t)— расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t=9c.
Решение. Найдем производную функции s(t)=6t2-48t+17: s/ (t) = 12t-48. Найдем значение производной в точке t=9: s/ (9)=12*9-48, v(t)= s/ (9)=60. Ответ: 60 м/с.
Решение тригонометрических уравнений:
Определение. Тригонометрическим уравнением называется уравнение, содержащее переменную под знаком тригонометрических функций.
Простейшими тригонометрическими уравнениями являются уравнения вида
,
,
,
.
Рассмотрим, при каких значениях тригонометрические уравнения разрешимы и как правильно находить все решения таких уравнений.
Уравнение.
Так как множество значений функции - отрезок [-1;1], то данное уравнение разрешимо тогда и только тогда, когда
.
Далее, из-за периодичности функции , каждому значению
соответствует бесконечное множество решений. Поэтому все решения описываются формулами:
или обобщенной формулой
.
Пример1. Решить уравнение .
Решение.
.
Ответ: .
Уравнение.
Данное уравнение имеет тогда и только тогда, когда .
Множество решений записывается в виде
.
Заметим, что .
Особо отметим некоторые частные случаи, к которым обычно приходят в процессе решения данного уравнения:
Пример2. Решить уравнение .
Решение.
.
Ответ: .
Уравнение .
Данное уравнение разрешимо при любом . Все решения задаются формулой
.
Заметим, что .
Особо отметим некоторые частные случаи, к которым обычно приходят в процессе решения данного уравнения:
Пример3. Решить уравнение .
Решение.
.
Ответ: .
Уравнение .
Данное уравнение разрешимо при любом . Все решения задаются формулой
.
Пример4. Решить уравнение .
Решение.
Ответ: .
Пример 5. Решить уравнение .
Решение. Это уравнение является квадратным относительно . Поэтому сделаем замену
. В результате получим уравнение
. Его корни:
, то есть получаем уравнение
или
. Первое уравнение дает
. Второе уравнение не имеет корней.
Ответ: .
Пример 6. Решить уравнение .
Решение. Так как , то уравнение можно представить в виде
;
. Сделаем замену
. Получим квадратное уравнение
, решая которое, имеем:
,то есть
. Таким образом, получим два простейших уравнения
или
. Решая их, имеем
или
.
Ответ:
Пример 7. Решить уравнение:
.
Решение. Это уравнение является однородным относительно и
. поэтому, разделив его на
, получим
. Введем новую переменную
и решим квадратное уравнение
.
Его корни . получили два простейших тригонометрических уравнения
. Решая их, найдем:
или
.
Ответ: .
Пример 8. Решить уравнение:
.
Решение. Это уравнение, сводящееся к однородному. Имеем
то есть получили однородное уравнение. Разделив обе части уравнения на
, получим
. Решая это уравнение, квадратное относительно
, найдем, что
либо
. Таким образом,
или
.
Ответ: .
Для вычисления значений тригонометрических функций можно использовать следующую таблицу:
7.Вычисление неопределенных интегралов:
1. Таблица неопределённых интегралов.
![]() | ![]() | ||
![]() | ![]() | ||
![]() ![]() | ![]() | ||
![]() | ![]() | ||
![]() ![]() | ![]() | ||
![]() | ![]() | ||
![]() | ![]() | ||
![]() | ![]() | ||
![]() | ![]() | ||
![]() | ![]() ![]() |
В формулах 14, 15, 16, 19 предполагается, что a >0. Каждая из формул таблицы справедлива на любом интервале, на котором непрерывна подынтегральная функция. Все эти формулы можно доказать дифференцированием правой части.
Способ подстановки (замены переменных)
Теорема: Если требуется найти интеграл , но сложно отыскать первообразную, то с помощью замены x =
(t) и dx =
(t)dt получается:
ПРИМЕР 1. Найти неопределенный интеграл:
а) Найти интеграл по свойству неопределенного интеграла
б) . Сделаем замену t = sinx, dt = cosxdt.
в) Замена
получаем:
Контрольная работа №2
По дисциплине «Математика»
I курс II семестр
1 вариант
1. Вычислите пределы функции:
а) при a=2;a=0;a=
б) при a=-1; a=2; a=
в) г)
при a=-2; a=5; a=
2. Найдите производные функции.
a) б)
в)
г)
3. Найти скорость и ускорение материальной точки через (n+1)(c), где n-номер вашего варианта, если точка движется по закону S(t)=
4. Составьте уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой
, если:
5. Исследовать функцию и построить график.
а) б)
6. Решите уравнения:
а)
б)
в)
г)
д)
7. Вычислите неопределенные интервалы:
;
;
;
;
)
м)
2 вариант
1. Вычислите пределы функции:
а) при a=-1; a=2; a=
б) при a=-1; a=4; a=
в) г)
при a=-2; a=5; a=
2. Найдите производные функции.
a) б)
в)
г)
3. Найти скорость и ускорение материальной точки через (n+1)(c), где n - номер вашего варианта, если точка движется по закону S(t)=
4. Составьте уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой
, если:
5. Исследовать функцию и построить график.
а) б)
6. Решите уравнения:
а)
б)
в)
г)
д)
7. Вычислите неопределенные интервалы:
а) ;
б) ;
в) ;
г)
д) ;
е)
ж)
з)
и)
к)
л)
м)
3 вариант
1. Вычислить пределы функций:
а) , при а=-2; а=3; а=¥;
б) , при а=1; а=-3; а=¥;
в) ; г)
, при а=2; а=3; а=¥.
2. Найдите производные функций:
а) у= х8-5х+8; б) у= х*tgх; в) у ; г) у=
.
3. Найдите скорость и ускорение материальной точки через n+1 секунду, где n- номер вашего варианта, если точка движется по закону: S(t)= 2t3-3t+1(м).
4. Составьте уравнение касательной к графику функции у= f(х) в точке с абсциссой х=а, если у= х2-3х+5, а=-1.
5. Исследовать функцию и построить ее график: а) у=3х3-х+2; б) 2х4+4х-6.
6. Решить уравнение:
а) tg =
; б) Sin(
)+1=0; в) 2Cos(2х-
)=1; г) 2Cos2х-17Cosx-9=0;
б) 2Sin2(2х+ )-Sin(2х+
)-1=0.
7. Вычислите неопределенные интегралы:
а) ![]() | д) ![]() | и) ![]() |
б) ![]() | е) ![]() | к) ![]() |
в) ![]() | ж) ![]() | л) ![]() |
г) ![]() | з) ![]() | н) ![]() |
4 вариант
1. Вычислите пределы функции:
а) при a=3; a=5; a=
б) при a=--2; a=1; a=
в)
г) при a=2; a=4; a=
2. Найдите производные функции.
a) б)
в)
г)
3. Найти скорость и ускорение материальной точки через (n+1)(c), где n - номер вашего варианта, если точка движется по закону S(t)=
4. Составьте уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой
, если:
5. Исследовать функцию и построить график.
а) б)
6. Решите уравнения:
а)
б)
в)
г)
д)
7. Вычислите неопределенные интервалы:
а) ;
б) ;
в) ;
г)
д) ;
е)
ж)
з)
и)
к)
л)
м)
5 вариант
1. Вычислите пределы функции:
а) при a=2; a=1; a=
б) при a=2; a=-5; a=
в)
г) при a=-2; a=2; a=
2. Найдите производные функции.
a) б)
в)
г)
3. Найти скорость и ускорение материальной точки через (n+1)(c), где n - номер вашего варианта, если точка движется по закону S(t)=
4. Составьте уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой
, если:
5. Исследовать функцию и построить график.
а) б)
6. Решите уравнения:
а)
б)
в) 2
г)
д)
7. Вычислите неопределенные интервалы:
а) ;
б) ;
в) ;
г)
д) ;
е)
ж)
з)
и)
к)
л)
м)
6 вариант
1. Вычислите пределы функции:
а) при a= -2; a=0; a=
б) при a= -1; a=6; a=
в)
г) при a= -2; a=5; a=
2. Найдите производные функции.
a) б)
в)
г)
3. Найти скорость и ускорение материальной точки через (n+1)(c), где n - номер вашего варианта, если точка движется по закону S(t)=
4. Составьте уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой
, если:
5. Исследовать функцию и построить график.
а) б)
6. Решите уравнения:
а)
б)
в) 2
г)
д)
7. Вычислите неопределенные интервалы:
а) ;
б) ;
в) ;
г) ;
д) ;
е) ;
ж) ;
з) ;
и) ;
к) ;
л) ;
м)
7 вариант
1. Вычислите пределы функции:
а) при a= -3; a=0; a=
б) при a= -1; a=6; a=
в)
г) при a= -2; a=5; a=
2. Найдите производные функции.
a) б)
в)
г)
3. Найти скорость и ускорение материальной точки через (n+1)(c), где n - номер вашего варианта, если точка движется по закону S(t)=
4. Составьте уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой
, если:
5. Исследовать функцию и построить график.
а) б)
6. Решите уравнения:
а)
б)
в) 2
г)
д)
7. Вычислите неопределенные интервалы:
а) ;
б) ;
в) ;
г)
д) ;
е)
ж)
з)
и)
к)
л)
м)
8 вариант
1. Вычислите пределы функции:
а) при a=2; a=0; a=
б) при a= -1; a=2; a=
в)
г) при a= -2; a=5; a=
2. Найдите производные функции.
a) б)
в)
г)
3. Найти скорость и ускорение материальной точки через (n+1)(c), где n - номер вашего варианта, если точка движется по закону S(t)=
4. Составьте уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой
, если:
5. Исследовать функцию и построить график.
а) б)
6. Решите уравнения:
а)
б)
в) 2
г)
д)
7. Вычислите неопределенные интервалы:
а) ;
б) ;
в) ;
г)
д) ;
е)
ж)
з)
и)
к)
л)
м)
9 вариант
1. Вычислите пределы функции:
а) при a= -1; a=2; a=
б) при a= -1; a=4; a=
в)
г) при a=-2; a=2; a=
2. Найдите производные функции.
a) б)
в)
г)
3. Найти скорость и ускорение материальной точки через (n+1)(c), где n - номер вашего варианта, если точка движется по закону S(t)=
4. Составьте уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой
, если:
5. Исследовать функцию и построить график.
а) б)
6. Решите уравнения:
а)
б)
в)
г)
д)
7. Вычислите неопределенные интервалы:
а) ;
б) ;
в) ;
г)
д) ;
е)
ж)
з)
и)
к)
л)
м)
10 вариант
1. Вычислите пределы функции:
а) при a= -2; a=3; a=
б) при a=1; a= -3; a=
в)
г) при a=2; a=3; a=
2. Найдите производные функции.
a) б)
в)
г)
3. Найти скорость и ускорение материальной точки через (n+1)(c), где n - номер вашего варианта, если точка движется по закону S(t)=
4. Составьте уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой
, если:
5. Исследовать функцию и построить график.
а) б)
6. Решите уравнения:
а)
б)
в) 2
г)
д)
7. Вычислите неопределенные интегралы
а) ; б)
; в)
; г)
д) ; е)
ж)
з)
и) к)
л)
м)
Дата добавления: 2015-12-08; просмотров: 91 | Нарушение авторских прав