Возрастание и убывание функций. Функция называется возрастающей в некотором интервале

Функция называется возрастающей в некотором интервале, если для любых двух чисел х ₁ и х ₂ из этого интервала из неравенства х ₂ > х ₁ следует неравенство f (х ₂) > f (х ₁)(рис.16).

Рис. 16

Если же из неравенства х ₂ > х ₁ следует нестрогое неравенство f (х ₂) f (х ₁), то функция называется неубывающей в этом интервале.

Функция называется убывающей в некотором интервале, если для любых двух чисел х ₁ и х ₂ из этого интервала из неравенства х ₂ > х ₁ следует неравенство f (х ₂) f (х ₁)(рис.17).

Рис. 17

Если же из неравенства х ₂> х ₁следует нестрогое неравенство f (х ₂) f (х ₁), то функция называется невозрастающей в этом интервале.

Функции возрастающие и убывающие, а также функции невозрастающие и неубывающие называются монотонными.

Теорема. 1) Если функция f(x) имеет производную на отрезке [a, b] и возрастает на этом отрезке, то ее производная на этом отрезке неотрицательна, т.е. f¢(x) ³ 0.

2) Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема на промежутке (а, b), причем f¢(x) > 0 для a < x < b, то эта функция возрастает на отрезке [a, b].

Аналогично можно сделать вывод о том, что если функция f (x) убывает на отрезке [ a, b ], то £0 на этом отрезке. Если <0 в промежутке (a, b), то f (x) убывает на отрезке [ a, b ].

Конечно, данное утверждение справедливо, если функция f (x) непрерывна на отрезке [ a, b ] и дифференцируема на интервале (a, b).

Правило. При решении задач, в которых требуется определить интервалы возрастания и убывания функции, следует прежде всего определить область существования этой функции, а затем решить неравенства и .

Пример 1. Определить интервал возрастания и убывания функции .

Решение. Областью существования данной функции является вся ось О х (функция существует при любом значении х).

Ее производная . Чтобы найти интервалы возрастания функции, решим неравенство .

. Следовательно, функция возрастает в двух бесконечных интервалах: и .

Чтобы определить интервал убывания функции, решим неравенство 3 х ² –12 <0 или , т.е. –2< x <2 или . Отсюда делаем вывод, что функция убывает в интервале (-2;2). Производная функции 3 x ² –12 обращается в нуль при x =-2 и x =2. В точке x =-2 функция переходит от возрастания к убыванию, в точке x =2 она от убывания переходит к возрастанию.

Пример. Определить интервалы возрастания и убывания функции .

Решение. Функция определена в полуоткрытом интервале ; ее производная во всем этом интервале. Поэтому функция монотонная, она возрастает во всей области определения.

Точки экстремума.

Определение. Функция f (x) имеет в точке х ₁ максимум, если ее значение в этой точке больше значений во всех точках некоторого интервала, содержащего точку х ₁. Функция f (x) имеет в точке х ₂ минимум, если f (x ₂ +D x) > f (x ₂) при любом D х (D х может быть и отрицательным).

Очевидно, что функция, определенная на отрезке может иметь максимум и минимум только в точках, находящихся внутри этого отрезка. Нельзя также путать максимум и минимум функции с ее наибольшим и наименьшим значением на отрезке – это понятия принципиально различные.

Дата добавления: 2015-11-26